Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
Русский
История
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян Задание 1305
Задание 1305
\[\boxed{\mathbf{1305.ОК\ ГДЗ - домашка\ н}а\ 5}\]
\[Дано:\]
\[куб\ \text{ABCD}A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}.\]
\[Доказать:\]
\[существует\ сечение\ в\ виде\ \]
\[\textbf{а)}\ правильного\ треугольника,\]
\[ю)\ квадрата,\ \]
\[\textbf{в)}\ правильного\ \]
\[шестиугольника.\]
\[Доказательство.\]
\[\textbf{а)}\ Рассмотрим\ сечение\ AD_{1}\text{C.\ }\]
\[AD_{1} \subset AA_{1}D_{1};\ \]
\[CD_{1} \subset CC_{1}D_{1};\ \]
\[AC \subset ABC.\]
\[Все\ отрезки\ проходят\ по\ \]
\[граням,\ дополнительных\ точек\ \]
\[у\ сечения\ нет.\]
\[Сечение\ AD_{1}C - треугольник.\ \]
\[Пусть\ сторона\ квадрата\ \]
\[AB = a.\]
\[Диагональ\ грани:\]
\[AC = AD_{1} = CD_{1} + a\sqrt{2}.\]
\[У\ \mathrm{\Delta}AD_{1}C\ все\ стороны\ равны -\]
\[это\ правильный\ треугольник.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\textbf{б)}\ Рассмотрим\ сечение\ EFGH:\]
\[\ E,\ F,\ G,\ H - середины\ ребер\ \]
\[AD,\ A_{1}D_{1},\ B_{1}C_{1},\ BC\ \]
\[соответственно.\]
\[Все\ отрезки\ сечения\ проходят\ \]
\[по\ граням,\ дополнительных\ \]
\[точек\ у\ сечения\ нет.\]
\[\text{EF}\left| \left| AA_{1},\ FG \right| \right|A_{1}B_{1} \Longrightarrow плоскость\ \]
\[сечения\ параллельна\ граням\]
\[\text{AB}B_{1}\ и\ \text{DC}C_{1}.\]
\[EF = FG = GH = EH = a;\]
\[\angle E = \angle F = \angle G = \angle H = 90^{0}.\]
\[Сечение\ EFGH - квадрат.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\textbf{в)}\ Рассмотрим\ сечение\ \]
\[EFGHMN:\ \ \]
\[E,\ F,\ G,\ H,\ M,\ N - середины\ \]
\[ребер\ A_{1}D_{1},\ D_{1}C_{1},\ C_{1}C,\ CB,\ BA,\ \]
\[AA_{1}\ соответственно.\ \]
\[Все\ отрезки\ сечения\ проходят\ \]
\[по\ граням,\ дополнительных\ \]
\[точек\ у\ сечения\ нет.\]
\[По\ теореме\ Пифагора\ \]
\[(из\ \mathrm{\Delta}ED_{1}F):\]
\[EF = \sqrt{ED_{1}^{2} + D_{1}F^{2}} =\]
\[= \sqrt{\left( \frac{a}{2} \right)^{2} + \left( \frac{a}{2} \right)^{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2} -\]
\[половина\ диагонали\ грани.\]
\[EF = FG = GH = HM = MN =\]
\[= NE = \frac{a\sqrt{2}}{2}.\]
\[Все\ стороны\ шестиугольника\ \]
\[равны.\]
\[Найдем\ диагональ\ \]
\[шестиугольника\ \text{EG.}\ \]
\[Для\ этого\ рассмотрим\ \ \]
\[прямоугольный\ треугольник\ \]
\[\mathrm{\Delta}ED_{1}\text{G.}\ \]
\[По\ теореме\ Пифагора:\]
\[EG = \sqrt{ED_{1}^{2} + D_{1}G^{2}} =\]
\[= \sqrt{ED_{1}^{2} + D_{1}C_{1}^{2} + C_{1}G^{2}} =\]
\[= \sqrt{\left( \frac{a}{2} \right)^{2} + a^{2} + \left( \frac{a}{2} \right)^{2}} =\]
\[= \sqrt{\frac{6a^{2}}{4}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}.\]
\[В\ \mathrm{\Delta}EFG:\]
\[EF = FG = \frac{a\sqrt{2}}{2};\ \]
\[EG = \frac{a\sqrt{6}}{2}.\ \]
\[По\ теореме\ косинусов:\]
\[cosF = \frac{EF^{2} + FG^{2} - EG^{2}}{2 \cdot EF \cdot FG} =\]
\[= \frac{\frac{2a^{2}}{4} + \frac{2a^{2}}{4} - \frac{6a^{2}}{4}}{2 \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}} = - \frac{\frac{a^{2}}{2}}{a^{2}} =\]
\[= - \frac{1}{2};\]
\[\angle F = 120^{0}.\]
\[Аналогично\ доказываем,\ что\ \]
\[остальные\ внутренние\ углы\ \]
\[шестиугольника\ также\ равны\ \]
\[120^{0}.\]
\[\angle E = \angle F = \angle G = \angle H = \angle M =\]
\[= \angle N = 120^{0}.\]
\[У\ шестиугольника\ EFGHMN\ все\ \]
\[стороны\ и\ все\ углы\ равны -\]
\[это\ правильный\ \]
\[шестиугольник.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
