ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян Задание 1308

\[\boxed{\mathbf{1308.ОК\ ГДЗ - домашка\ н}а\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[Дано:\]

\[правильная\ треугольная\ \]

\[призма\ \text{ABC}A_{1}B_{1}C_{1};\]

\[V_{пр} = V;\ \]

\[сечения\ AB_{1}C_{1}\ и\ A_{1}\text{BC.}\]

\[Найти:\]

\[V_{1};\ V_{2};\ V_{3};\ V_{4}.\]

\[Решение.\]

\[1)\ AA_{1}B_{1}B\ и\ AA_{1}C_{1}C -\]

\[прямоугольники.\ \]

\[Точки\ пересечения:\]

\[D = AB_{1} \cap A_{1}B;\ \ \]

\[E = AC_{1} \cap A_{1}\text{C.}\]

\[Сечения\ пересекаются\ по\ \]

\[отрезку\ DE = ABC_{1} \cap A_{1}\text{BC.}\]

\[\text{D\ }и\ E - точки\ пересечения\ \]

\[диагоналей\ прямоугольников,\]

\[они\ делят\ эти\ диагонали\ \]

\[пополам.\ \]

\[\text{DE} - средняя\ линия.\ \]

\[2)\ \mathrm{\Delta}AB_{1}C_{1}\ и\ \mathrm{\Delta}A_{1}\text{BC.}\]

\[Пусть\ высота\ призмы\ AA_{1} = h.\]

\[Сечение\ A_{1}\text{BC}\ разбирает\ \]

\[призму\ на\ две\ пирамиды:\]

\[A_{1}\text{ABC\ }и\ A_{1}\text{BC}C_{1}B_{1}.\]

\[V_{A_{1}\text{ABC}} = \frac{1}{3}S_{\text{ABC}}h = \frac{1}{3}V;\ \ \]

\[V_{A,BCC,B_{1}} = V - V_{A_{1}\text{ABC}} = \frac{2}{3}\text{V.}\]

\[Пирамида\ A_{1}\text{ABC\ }разбивается\ \]

\[сечением\ \text{AED\ }на\ две\ \]

\[пирамиды:\]

\[AA_{1}\text{DE\ }и\ \text{ADECB.}\]

\[DE - средняя\ линия\ \mathrm{\Delta}A_{1}BC;\]

\[\mathrm{\Delta}A_{1}DE\sim A_{1}BC;\ \]

\[k = \frac{1}{2}.\]

\[Соотношение\ площадей:\]

\[\frac{S_{A_{1}\text{DE}}}{S_{A_{1}\text{BC}}} = k^{2} = \frac{1}{4}\text{\ \ \ }\]

\[S_{A_{1}\text{DE}} = \frac{1}{4}S_{A_{1}\text{BC}}\]

\[S_{\text{DECB}} = \frac{3}{4}S_{A_{1}\text{BC}}.\]

\[3)\ У\ пирамид\ AA_{1}\text{DE}\ и\ \text{ADECB}\ \]

\[высоты\ равны.\]

\[Соотношение\ объемов\ равно\ \]

\[соотношению\ площадей:\]

\[V_{1} = V_{AA_{1}\text{DE}} = \frac{1}{4}V_{A_{1}\text{ABC}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}V =\]

\[= \frac{1}{12}V;\]

\[V_{2} = V_{\text{ADECB}} = \frac{3}{4}V_{A - 1\ ABC} =\]

\[= \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3}V = \frac{1}{4}\text{V.}\]

\[4)\ Пирамида\ A_{1}\text{BC}C_{1}B_{1}\ \]

\[разбивается\ сечением\ \text{DE}C_{1}B_{1}\ \]

\[на\ пирамиду\text{\ A}_{1}\text{DE}C_{1}B_{1}\ и\ \]

\[многогранник\ \text{EDBC}C_{1}B_{1}.\]

\[DE - средняя\ линия\ \mathrm{\Delta}AB_{1}C_{1};\]

\[S_{\text{DE}C_{1}B_{1}} = \frac{3}{4}S_{AB_{1}C_{1}};\]

\[V_{3} = V_{A_{1}\text{DE}C_{1}B_{1}} = V_{2} = \frac{1}{4}\text{V.}\]

\[5)\ Объем\ многогранника\ \]

\[\text{EDBC}C_{1}B_{1}\ равен\ остатку:\]

\[V_{4} = V - \left( V_{1} + V_{3} \right) =\]

\[= V - \left( \frac{1}{12}V + 2 \cdot \frac{1}{4}V \right) =\]

\[= V - \frac{7}{12}V = \frac{5}{12}\text{V.}\]

\[Ответ:\]

\[треугольная\ пирамида\ \]

\[объемом\ \frac{1}{12}V;\ \]

\[две\ четырехугольные\ \]

\[пирамиды\ с\ объемом\ по\ \frac{1}{4}V;\]

\[один\ многогранник\ \]

\[объемом\ \frac{5}{12}\text{V.}\]