\[\boxed{\mathbf{713.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[окружность\ (O;r);\]
\[X \in BC;\]
\[X \in l;\]
\[AC,\ AC - касательные;\]
\[AB \cap l = M;\]
\[AC \cap l = N.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[P_{\text{AMN}};\ \angle MON\]
\[не\ зависят\ от\ точки\text{\ X}.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ P_{\text{AMN}} = AM + AN + MN.\]
\[2)\ BM = MX\ и\ \]
\[XN = NC\ (по\ свойству\ касательных).\]
\[3)\ P_{\text{AMN}} =\]
\[= AM + AN + MX + XN =\]
\[= AM + AN + BM + + NC =\]
\[= AB + AC:\]
\[P_{\text{AMN}} - не\ зависит\ от\ \text{X.}\]
\[4)\ \angle MON = \angle MOX + \angle XON.\]
\[5)\ \mathrm{\Delta}BOM = \mathrm{\Delta}MOX\ \]
\[(по\ гипотенузе\ и\ катету):\]
\[BM = MX;\ \]
\[MO - общая\ гипотенуза.\]
\[Отсюда:\]
\[\angle MOX = \angle BOM.\]
\[6)\ \mathrm{\Delta}NOX = \mathrm{\Delta}NOC\ \]
\[(по\ гипотенузе\ и\ катету):\]
\[XN = NC;\]
\[NO - общая\ гипотенуза.\]
\[Отсюда:\]
\[\angle XON = \angle NOC.\]
\[7)\ \angle MON = \angle BOM + \angle NOC:\ \]
\[\angle MON - не\ зависит\ от\ точки\ \text{X.}\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]