ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян Задание 809

\[\boxed{\mathbf{809.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\mathbf{\ задачи:}\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[ABCD - прямоугольная\ \]

\[трапеция;\]

\[\angle A = 90{^\circ};\ \ \angle C = 120{^\circ};\]

\[AC = a;\ \ CD = a.\]

\[\mathbf{Найти:}\]

\[MN - средняя\ линия.\]

\[\mathbf{Решение.}\]

\[1)\ AC = CD = a.\]

\[По\ определению\ \]

\[треугольников:\]

\[\mathrm{\Delta}ACD - равнобедренный.\]

\[2)\ MN - средняя\ линия \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow MN \parallel AD.\]

\[Следовательно:\]

\[ON \in MN;\ \ ON \parallel AD.\]

\[3)\ MN - средняя\ линия \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow CN = ND.\]

\[ON \parallel AD\ (см.\ пункт\ 2):\]

\[CO = AO\ (по\ теореме\ Фалеса);\ \ \]

\[CO = AO = \frac{\text{AC}}{2} = \frac{a}{2}.\]

\[4)\ \angle HCD = \angle BCD - \angle BCH =\]

\[= 120{^\circ} - 90{^\circ} = 30{^\circ}.\]

\[5)\ \mathrm{\Delta}ACD - равнобедренный:\]

\[CH - высота,\ биссектриса\ и\ \]

\[медиана.\ \]

\[Следовательно:\]

\[\angle ACH = \angle HCD = 30{^\circ};\ \ \ \]

\[AH = HD.\]

\[6)\ CH \parallel BA\ и\ секущей\ AC:\]

\[\angle BAC = \angle ACH =\]

\[= 30{^\circ}\ (накрестлежащие).\]

\[7)\ Рассмотрим\ прямоугольный\ \ \]

\[\mathrm{\Delta}\text{MAO}:\]

\[\angle MAO = 30{^\circ};\]

\[MO = \frac{1}{2}AO = \frac{1}{2} \bullet \frac{a}{2} = \frac{a}{4}\text{\ .}\]

\[8)\ В\ \mathrm{\Delta}\text{ABC\ }по\ свойству\ \]

\[прямоугольных\ треугольников:\ \]

\[\angle BAC = 30{^\circ};\]

\[BC = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2}.\]

\[9)\ AH = HD;\ \ AH = BC:\ \]

\[AD = AH + HD = 2BC =\]

\[= 2 \bullet \frac{a}{2} = a.\]

\[10)\ ON - средняя\ линия:\]

\[ON = \frac{1}{2}AD = \frac{a}{2}.\]

\[11)\ Найдем\ среднюю\ линию\ \]

\[треугольника:\]

\[MN = MO + ON = \frac{a}{4} + \frac{a}{2} = \frac{3}{4}\text{a.}\]

\[Ответ:MN = \frac{3}{4}\text{a.}\]