ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян Задание 821

\[\boxed{\mathbf{821.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\mathbf{\ задачи:}\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[ABCD - прямоугольник;\]

\[AA_{1};BB_{1};CC_{1};\]

\[DD_{1} - биссектрисы;\]

\[E = AA_{1} \cap BB_{1};\]

\[F = AA_{1} \cap DD_{1};\]

\[G = CC_{1} \cap DD_{1};\]

\[H = BB_{1} \cap CC_{1}.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[EFGH - квадрат.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ Так\ как\ биссектрисы\ \]

\[прямых\ углов\ в\ \]

\[прямоугольнике\ \text{ABCD\ }\]

\[образуют\ с\ его\ сторонами\ углы\ \]

\[по\ 45{^\circ},\ то\ получаем,\ что\ в\ \mathrm{\Delta}AFD:\]

\[\angle FAD = \angle FDA = 45{^\circ} \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow \angle AFD = 90{^\circ}.\ \]

\[2)\ AA_{1} \parallel CC_{1};\ \ \ BB_{1} \parallel DD_{1}:\ \]

\[четырехугольник\ EFGH -\]

\[параллелограмм.\]

\[Следовательно:\]

\[EF = HG;\ \ \]

\[FG = EH;\ \ \]

\[\angle H = \angle F = 90{^\circ};\]

\[\angle E = \angle G = 180{^\circ} - 90{^\circ} = 90{^\circ}.\]

\[Получаем:\]

\[\ EFGH - прямоугольник.\]

\[3)\ Докажем,\ что\ в\ этом\ \]

\[прямоугольнике\ смежные\ \]

\[стороны\ равны.\]

\[\mathrm{\Delta}\text{AE}B_{1} = \ \mathrm{\Delta}C_{1}CD\ по\ гипотенузе\ \]

\[и\ углу:\]

\[AE = EB_{1} = C_{1}G = GD;\]

\[AF - AE = FD - GD;\]

\[EF = FC.\]

\[4)\ Все\ стороны\ \]

\[прямоугольника\ \text{EFGH\ }равны:\]

\[\text{\ \ \ }TF = HG;\ \ FG = EH;\ \ EF = FG.\]

\[EFGH - квадрат.\]

\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]