ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян Задание 822

\[\boxed{\mathbf{822.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\mathbf{\ задачи:}\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[ABCD - параллелограмм;\]

\[\text{ADD}_{1}A;ABB_{2}A_{2};\]

\[\text{BC}C_{1}B_{1};\ \ CDD_{2}C_{2} - квадраты;\]

\[E = AB_{2} \cap BA_{2};\]

\[F = BC_{1} \cap CB_{1};\]

\[G = CD_{2} \cap DC_{2};\]

\[H = AD_{1} \cap DA_{1}.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[EFGH - квадрат.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ ABCD - параллелограмм \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow AB = CD;\ \ AD = BC:\]

\[AE = EB = CG = GD;\]

\[BF = FC = AH = HD.\]

\[2)\ Допустим,\ что\ \angle A = \angle C = a;\ \ \]

\[\angle B = \angle D = 180{^\circ} - a.\ \ \]

\[Тогда:\]

\[\angle EBF = 360 - (2 \bullet 45 + \angle B) =\]

\[= 90{^\circ} + a;\]

\[\angle FCG = a + 2 \bullet 45 = 90{^\circ} + a;\]

\[\angle GDH = 360 - (2 \bullet 45 + \angle B) =\]

\[= 90{^\circ} + a;\]

\[\angle HAE = a + 2 \bullet 45 = 90{^\circ} + a.\]

\[3)\ Получаем:\]

\[AE = EB = CG = GD;\]

\[BF = FC = AH = HD;\]

\[\angle HAE = \angle EBF = \angle ECG =\]

\[= \angle GDH = 90{^\circ} + a.\]

\[По\ первому\ признаку\ \]

\[равенства\ треугольников:\]

\[\mathrm{\Delta}HAE = \mathrm{\Delta}FBE = \mathrm{\Delta}ECG = \mathrm{\Delta}HDG.\]

\[Отсюда:\]

\[HE = EF = FG = GH;\]

\[EFGH - ромб.\]

\[4)\ У\ ромба\ \text{EFGH\ }найдем\ \]

\[угол\ \text{E.}\]

\[\angle AEB = 90{^\circ};\ \mathrm{\Delta}HAE = \mathrm{\Delta}FBE:\]

\[\text{\ \ }\angle AEH = \ \angle BEF.\]

\[Следовательно:\]

\[\ \angle E = \ \]

\[= \angle AEB + \ \angle BEF - \ \angle AEH =\]

\[= 90{^\circ}.\]

\[5)\ Остальные\ углы\ ромба\ \]

\[ромба:\]

\[\ \angle G = \ \angle E = 90{^\circ};\]

\[\ \angle F = \ \angle H = 180{^\circ} - 90{^\circ} = 90{^\circ}.\]

\[6)\ Ромб\ со\ всеми\ прямыми\]

\[углами - это\ квадрат.\]

\[\ EFGH - квадрат.\]

\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]