Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
Русский
История
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян Задание 826
Задание 826
\[\boxed{\mathbf{826.}\mathbf{ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}\text{ABC};\]
\[\text{BCDE};\text{ACTM};\]
\[\text{BAHK} - квадраты;\]
\[TCPQ;\]
\[EBKP - параллелограммы.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[\mathrm{\Delta}APQ - прямоугольный\ и\ \]
\[равнобедренный.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Допустим:\]
\[AB = c;BC = a;\ \]
\[\angle A = \alpha;\ \angle B = \beta.\]
\[2)\ Рассмотрим\ треугольники\ \]
\[ABC\ и\ \text{QCD}:\]
\[AC = TC = QD = b;\]
\[BC = CD = a;\]
\[\angle EDQ = \angle BCT = \angle C + 90{^\circ};\]
\[то\ \angle CDQ = \angle C.\]
\[По\ первому\ признаку\ \]
\[равенства\ \mathrm{\Delta}:\]
\[\mathrm{\Delta}ABC = \mathrm{\Delta}QCD;\ \]
\[CQ = c;\ \ \]
\[\angle ACQ =\]
\[= 360 - 90 - (\angle C + \angle B) =\]
\[= 90{^\circ} + \alpha.\]
\[3)\ Рассмотрим\ треугольники\ \]
\[\text{ABC\ }и\ PEB:\]
\[AB = KB = PE = c;\]
\[BC = EB = a;\]
\[\angle PEB = 180{^\circ} - \angle KBE =\]
\[= 180{^\circ} - (360{^\circ} - 290{^\circ} - \angle B) =\]
\[= \angle B.\]
\[По\ первому\ признаку\ \]
\[равенства\ треугольников:\]
\[\mathrm{\Delta}ABC = \mathrm{\Delta}PEB;\]
\[PB = b;\]
\[\angle PBA =\]
\[= 360{^\circ} - 90{^\circ} - (\angle C + \angle B) =\]
\[= 90{^\circ} + \alpha.\]
\[4)\ Рассмотрим\ треугольники\ \]
\[\text{PBA}\ и\ ACQ:\]
\[\angle PBA = \angle ACQ = 90{^\circ} + \alpha;\]
\[BA = CQ = c;\]
\[PB = AC = b;\ \ \ \]
\[по\ первому\ признаку\ равенства\ \]
\[треугольников:\]
\[\mathrm{\Delta}PBA = \mathrm{\Delta}ACQ;\]
\[PA = AQ;\ \ \ \ \]
\[\mathrm{\Delta}APQ - равнобедренный,\ с\ \]
\[основанием\ \text{PQ.}\]
\[5)\ \angle PBA = \angle CAQ = \gamma;\]
\[\angle BAP = \angle CQA = \beta.\ \]
\[Сумма\ углов\ треугольника\ \]
\[равна:\]
\[\gamma + \delta + (90{^\circ} + \alpha) = 180{^\circ};\]
\[\gamma + \delta + \alpha = 90{^\circ}.\]
\[Угол\ при\ вешине\ \]
\[\mathrm{\Delta}APQ - прямой:\]
\[\angle PAQ = \angle BAP + \angle A + \angle CAQ =\]
\[= \delta + \alpha + \gamma = 90{^\circ}.\]
\[Следовательно:\]
\[\mathrm{\Delta}APQ - прямоугольный\ и\ \]
\[равнобедренный.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
