ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян Задание 840

\[\boxed{\mathbf{840.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[\angle KOM = 60{^\circ};\]

\[AK\bot KO;\ \ AK = a;\]

\[AM\bot OM;\ \ AM = b.\]

\[\mathbf{Найти:}\]

\[AO - ?\]

\[\mathbf{Решение.}\]

\[1)\ Сумма\ противоположных\ \]

\[углов\ четырехугольника\ \]

\[\text{OKAM\ } = 180{^\circ}.\]

\[\angle K + \angle M = 2 \bullet 90{^\circ} = 180{^\circ}.\]

\[Следовательно,\ в\ него\ можно\ \]

\[вписать\ окружность\ \]

\[диаметром = AO.\]

\[2)\ Пусть\ CO = CA = CK =\]

\[= CM = R.\]

\[3)\ \angle KCM = 2 \bullet 60{^\circ} = 120{^\circ} - в\ 2\ \]

\[раза\ больше\ угла\ \text{KOM.}\ \]

\[4)\ \mathrm{\Delta}KCM - равнобедренный;\ \]

\[основание\ \text{KM.}\]

\[5)\ Проведем\ CH - в\ \]

\[равнобедренном\ треугольнике:\]

\[биссектриса,\ высота\ и\ медиана.\]

\[6)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}KCH:\ \]

\[\angle KHC = 90{^\circ};\ \ \]

\[\angle KCH = 60{^\circ};\ \ \]

\[CK = R.\ \]

\[Значит:\]

\[KH = CK \bullet sin60{^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}R;\ \ \]

\[KM = 2KH = R\sqrt{3}.\]

\[7)\ Сумма\ углов\ \]

\[четырехугольника\ равна\ 360{^\circ}:\ \]

\[\angle KAM = 360 - 2 \bullet 90 - 60 =\]

\[= 120{^\circ}.\]

\[8)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}KAM:\]

\[\angle KAM = 120{^\circ};\ \ \]

\[AK = a;\ \ \]

\[AM = b;\ \ \]

\[KM = R\sqrt{3}.\]

\[Используя\ теорему\ косинусов:\]

\[\left( R\sqrt{3} \right)^{2} =\]

\[= a^{2} + b^{2} - 2ab \bullet cos120{^\circ}\]

\[3R^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab \bullet \left( - \frac{1}{2} \right) =\]

\[= a^{2} + b^{2} + ab.\]

\[9)\ R = \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2} + ab}{3}}\]

\[AO = 2R = 2\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2} + ab}{3}}.\]

\[Ответ:\ \ AO = 2\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2} + ab}{3}}.\]