ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян Задание 847

\[\boxed{\mathbf{847.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[ABCD - правильный\ \]

\[пятиугольник;\]

\[F = AD \cap BE.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[\textbf{а)}\ \mathrm{\Delta}AED\sim\mathrm{\Delta}AFE;\]

\[\textbf{б)}\frac{\text{DA}}{\text{DF}} = \frac{\text{DF}}{\text{AF}}.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[\textbf{а)}\ 1)\ Найдем\ сумму\ углов\ \]

\[пятиугольника:\]

\[S_{5} = (5 - 2) \bullet 180 = 540{^\circ}.\]

\[2)\ Найдем\ величину\ угла\ этого\ \]

\[пятиугольника:\]

\[\alpha = \frac{S_{5}}{5} = \frac{540}{5} = 108{^\circ}.\]

\[3)\ \mathrm{\Delta}AED - равнобедренный\ \]

\[(AE = ED):\]

\[углы\ при\ основании\ \text{AD\ }равны.\]

\[Получаем:\]

\[\angle AED = 108{^\circ};\ \ \]

\[\angle DAE = \angle ADE =\]

\[= \frac{1}{2} \bullet (180 - 108) = 36{^\circ}.\ \]

\[4)\ \mathrm{\Delta}AED\sim\mathrm{\Delta}AFE - по\ первому\ \]

\[признаку\ подобия:\]

\[\angle FAE = \angle DAE = 36{^\circ};\ \ \]

\[\angle FEA = \angle BEA = 36{^\circ}.\]

\[\textbf{б)}\ Из\ подобия\ треугольников:\]

\[k = \frac{\text{AE}}{\text{AF}} = \frac{\text{DA}}{\text{AE}} \Longrightarrow DA \bullet AF = AE^{2}\text{.\ }\]

\[1)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}DFE:\]

\[\angle DFE = 180 - \angle AFE =\]

\[= 180 - 108 = 72{^\circ};\]

\[\angle FDE = 36{^\circ}.\ \]

\[Получаем:\ \]

\[\angle DEF = 180 - (72 + 36) =\]

\[= 72{^\circ} = \angle DFE;\]

\[\mathrm{\Delta}DFE - равнобедренный \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow DF = FE.\]

\[2)\ DE - сторона\ \]

\[пятиугольника \Longrightarrow DE = AE.\ \]

\[\ Отсюда:\]

\[DF = AE;\ \]

\[DA \bullet AF = DF^{2}.\]

\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]