ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян Задание 848

\[\boxed{\mathbf{848.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[\mathrm{\Delta}ABC\ \left( \text{AB} \neq \text{AC} \right);\]

\[M \in BC;BM = MC;\]

\[AF - биссектриса\ \angle A;\]

\[MD \parallel AF;D \in AB;\]

\[F = MD \cap AC.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[BD = CE.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ \mathrm{\Delta}DAE - равнобедренный,\ с\ \]

\[основанием\ DE:\]

\[MD \parallel AF \Longrightarrow \angle ADE = \angle BAF =\]

\[= \angle\frac{A}{2};\]

\[\angle DAE = 180{^\circ} - \angle A\ \Longrightarrow \angle AED =\]

\[= 180 - \left( 180 - \angle A + \angle\frac{A}{2} \right) =\]

\[= \angle\frac{A}{2}.\]

\[Следовательно:AD = AE.\]

\[2)\ Пусть\ BM = MC = d;\ \ \]

\[FM = f:\]

\[MD \parallel AF;\ \ \angle B - общий;\ \ \]

\[\mathrm{\Delta}ABF\sim\mathrm{\Delta}DMB;\]

\[k_{1} = \frac{\text{BA}}{\text{BD}} = \frac{\text{BF}}{\text{BM}} = \frac{d - f}{d}\text{.\ }\]

\[Получаем:\]

\[AD = BD - BA = \left( 1 - \frac{d - f}{d} \right) =\]

\[= \frac{f}{d}\text{BD.}\]

\[3)\ MD \parallel AF;\ \ \]

\[\angle B - общий \Longrightarrow \mathrm{\Delta}MCE\sim\mathrm{\Delta}FCA;\]

\[k_{2} = \frac{\text{CE}}{\text{CA}} = \frac{\text{CM}}{\text{CF}} = \frac{d}{d + f}\text{.\ }\]

\[Отсюда:\]

\[AE = CA - CE =\]

\[= \left( \frac{d + f}{d} - 1 \right) \bullet CE = \frac{f}{d}\text{CE.}\]

\[4)Получаем:\]

\[AD = AE;\ \]

\[\frac{f}{d}BD = \frac{f}{d}CE;\ \ \]

\[BD = CE.\]

\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]