ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян Задание 852

Авторы:
Год:2020-2021-2022
Тип:учебник
Нужно другое издание?

Задание 852

\[\boxed{\mathbf{852.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\ \ \]

\[\angle A = \frac{180{^\circ}}{7};\]

\[\angle B = \frac{360{^\circ}}{7}.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[\frac{1}{\text{BC}} = \frac{1}{\text{AC}} + \frac{1}{\text{AB}}.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ \angle C =\]

\[= 180{^\circ} - \left( \frac{180{^\circ}}{7} + \frac{360{^\circ}}{7} \right) =\]

\[= \frac{720{^\circ}}{7} = 2\angle B = 4\angle A.\]

\[2)\ Проведем\ биссектрисы\ BD\ и\ \]

\[\text{CE},\ отметим\ точку\ их\ \]

\[пересечения\ M.\]

\[В\ треугольнике\ \text{ABD\ }углы\ при\ \]

\[основании\ будут\ равны:\]

\[\angle DAB = \angle DBA = \frac{180{^\circ}}{2}.\]

\[Получаем:\ \]

\[AD = BD;\ \ \]

\[\mathrm{\Delta}ABD - равнобедренный.\]

\[2)\ В\ \mathrm{\Delta}\text{BEC}\ углы\ при\ основании\ \]

\[равны:\ \]

\[\angle EBC = \angle ECB = \frac{360{^\circ}}{7} \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow \ EB = EC;\]

\[\mathrm{\Delta}BEC - равнобедренный.\]

\[3)\ \mathrm{\Delta}ABC\sim\mathrm{\Delta}\text{BDC} - по\ двум\ \]

\[углам:\]

\[\angle C - общий;\ \ \]

\[\angle CAB = \angle CBD = \frac{180}{7}.\]

\[Отсюда:\ \ \]

\[\frac{\text{AB}}{\text{BD}} = \frac{\text{AC}}{\text{BC}} = \frac{\text{BC}}{\text{CD}}\text{.\ }\]

\[AD = AB \bullet \frac{\text{BC}}{\text{AC}};\ \ \ \ \]

\[CD = \frac{BC^{2}}{\text{AC}};\]

\[AC = AD + CD =\]

\[= \frac{AB \bullet BC + BC^{2}}{\text{AC}};\]

\[AC^{2} = AB \bullet BC + BC^{2}.\]

\[4)\ \mathrm{\Delta}ABC\sim ACE\ \]

\[(см.рассуждение\ выше):\]

\[\frac{\text{AB}}{\text{AC}} = \frac{\text{BC}}{\text{CE}} = \frac{\text{AC}}{\text{AE}}\text{.\ \ \ \ \ }\]

\[Отсюда:\]

\[AE = \frac{AC^{2}}{\text{AB}};\ \ \ EB = \frac{AC \bullet BC}{\text{AB}};\ \ \]

\[AB = AE + EB = \frac{AC^{2} + AC \bullet BC}{\text{AB}};\]

\[AB^{2} = AC^{2} + AC \bullet BC.\]

\[4)\ AB \bullet BC = AC^{2} - BC^{2};\ \ \ \]

\[AC \bullet BC = AB^{2} - AC^{2};\]

\[(AB + AC) \bullet BC = AB^{2} - BC^{2};\]

\[AB + AC = \frac{AB^{2} - BC^{2}}{\text{BC}};\]

\[(AB + AC)(AB - AC) = AC \bullet BC;\]

\[AB + AC = \frac{AC \bullet BC}{AB - AC};\]

\[\frac{AB^{2} - BC^{2}}{\text{BC}} = \frac{AC \bullet BC}{AB - AC};\]

\[\frac{AC \bullet BC²}{AB - AC} = AB² - BC^{2};\]

\[BC^{2}\left( \frac{\text{AC}}{AB - AC} + 1 \right) = AB^{2};\]

\[BC^{2} = AB^{2}\frac{AB - AC}{\text{AB}} =\]

\[= AB^{2} - AB \bullet AC;\]

\[AB \bullet AC = AB^{2} - BC^{2} =\]

\[= (AB + AC) \bullet BC.\]

\[5)\ Следовательно:\]

\[BC = \frac{AB \bullet AC}{AB + AC}\]

\[\frac{1}{\text{BC}} = \frac{AB + AC}{AB \bullet BC} = \frac{1}{\text{AC}} + \frac{1}{\text{AB}}.\]

\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]

Скачать ответ
Есть ошибка? Сообщи нам!

Решебники по другим предметам