ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян Задание 853

Авторы:
Год:2020-2021-2022
Тип:учебник
Нужно другое издание?

Задание 853

\[\boxed{\mathbf{853.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[\angle AOB;MP\bot OA;\]

\[MQ\bot OB;PR\bot OB;\]

\[QS\bot OA.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[PS\bot OM.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ Отметим\ точки\ пересечения\ \]

\[D = OA \cap QM;\ \]

\[E = AB \cap PM;\ C = RS \cap OM.\]

\[2)\ \mathrm{\Delta}OPE\sim\mathrm{\Delta}OQD - по\ двум\ \]

\[углам:\]

\[\angle OPE = \angle OQD = 90^{0};\text{\ \ }\]

\[\angle AOB - общий;\]

\[Значит:\ \]

\[\frac{\text{OP}}{\text{OQ}} = \frac{\text{PE}}{\text{QD}} = \frac{\text{OE}}{\text{OD}}.\]

\[3)\ Аналогично:\ \mathrm{\Delta}OSQ\sim\mathrm{\Delta}ORP;\ \ \]

\[\frac{\text{OS}}{\text{OR}} = \frac{\text{SQ}}{\text{RP}} = \frac{\text{OQ}}{\text{OP}}.\]

\[4)\ Отсюда:\]

\[\frac{\text{OP}}{\text{OQ}} = \frac{\text{OE}}{\text{OD}} = \frac{\text{OR}}{\text{OS}};\ \frac{\text{OE}}{\text{OR}} = \frac{\text{OD}}{\text{OS}}\ \text{.\ }\]

\[Следовательно,\ по\ 3\ признаку\ \]

\[подобия:\]

\[\mathrm{\Delta}OSR\sim\mathrm{\Delta}ODE;\ SR \parallel DE.\]

\[5)\ Отметим\ точку\ \]

\[F = OM \cap DE.\]

\[Пусть\ \angle AOB = \alpha,\ \angle AOM = \beta.\text{\ \ }\]

\[\mathrm{\Delta}OPM:\ \angle OMP = 90^{0} - \beta;\]

\[\ \mathrm{\Delta}PDM:\ \angle PMD = \alpha.\]

\[\ Значит,\ в\ \mathrm{\Delta}DMF:\]

\[\angle DMF =\]

\[= 180^{0} - \left( 90^{0} - \beta + \alpha \right) =\]

\[= 90{^\circ} - \alpha + \beta.\]

\[6)\ В\ четырехугольнике\ OPMQ:\]

\[\angle\text{PMQ} = \angle\text{DVE} = 180^{0} - \alpha;\ \]

\[\angle EMF = \angle DME - \angle DMF =\]

\[= \left( 180^{0} - \alpha \right) - (90^{0} - \alpha + \beta =\]

\(= 90^{0} - \beta;\)

\[\angle QED = 90^{0} - \alpha + \beta.\]

\[7)\ \mathrm{\Delta}QDE\sim\mathrm{\Delta}FDM - по\ двум\ \]

\[углам:\text{\ \ }\]

\[\angle D - общий;\ \]

\[\angle DMF = \angle QED = 90^{0} - \alpha + \beta.\]

\[Отсюда:\ \ \]

\[\angle DFM = \angle DQE = 90^{0};\]

\[DE\bot OM;\]

\[RS\bot OM.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

Скачать ответ
Есть ошибка? Сообщи нам!

Решебники по другим предметам