ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян Задание 854

\[\boxed{\mathbf{854.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[\mathrm{\Delta}ABC;AB = BC;\]

\[D \in AC;AD = DC;\]

\[DH\bot BC;M \in DH;\]

\[DM = MH.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[M\bot AH.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ Проведем\ высоту\ \text{AE\ }к\ \]

\[стороне\ \text{BC}:\]

\[AE \parallel DH;\ \ \angle C - общий \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow \mathrm{\Delta}AEC\sim DHC.\]

\[2)\ \mathrm{\Delta}BCD\sim\mathrm{\Delta}DCH - по\ двум\ \]

\[углам:\ \]

\[\angle CHD = \angle CDB = 90{^\circ};\ \]

\[\angle C - общий.\ \]

\[\mathrm{\Delta}BCD\sim\mathrm{\Delta}BDH - по\ двум\ углам:\ \]

\[\angle BHD = \angle BDC = 90{^\circ};\ \ \]

\[\angle B - общий.\]

\[Отсюда:\]

\[\mathrm{\Delta}DCH\sim\mathrm{\Delta}BDH;\ \ \ \ \]

\[\mathrm{\Delta}AEC\sim\mathrm{\Delta}DHC\sim\mathrm{\Delta}BDH.\]

\[3)\ \text{AH\ }и\ BM - сходственные\ \]

\[медианы:\]

\[\mathrm{\Delta}AEH\sim\mathrm{\Delta}BHM.\]

\[4)\ Допустим,\ что\ \angle EHA =\]

\[= \angle BMH = \alpha:\ \]

\[\angle EAH = \angle HBM = 90{^\circ} - \alpha.\]

\[5)\ Рассмотрим\ треугольник\ \]

\[BOH:\]

\[\angle OBH = \angle HBM = 90{^\circ} - \alpha;\ \ \]

\[\angle BHO = \angle EHA = \alpha.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]