Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
Русский
История
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян Задание 856
Задание 856
\[\boxed{\mathbf{856.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - выпуклый\ \]
\[четырехугольник;\]
\[P = AC \cap BD;\]
\[\angle ADP = \frac{1}{2}\angle PDC;\]
\[\angle ADP = \frac{2}{3}\angle PAD;\]
\[AD = BD = CD.\]
\[\mathbf{Найти:}\]
\[\angle A;\ \angle B;\ \angle C;\ \angle D.\]
\[Доказать:\]
\[AB² = BP \bullet BD.\]
\[\mathbf{Решение.}\]
\[\textbf{а)}\ 1)\ Пусть\ \angle ADP = \alpha:\]
\[\angle PDC = 2\alpha;\]
\[\angle PAD = \frac{3}{2}\text{α.}\]
\[2)\ AD = BD = CD:\ \]
\[точки\ A,\ B,\ C,\ лежат\ на\ \]
\[окружности\ радиуса\ AD.\ \]
\[3)\ На\ дуге\ \ AB = \angle BDA = \alpha\ \]
\[вписан\ угол\ \angle ACB = \frac{1}{2}\ \]
\[дуги\ AB = \frac{\alpha}{2}.\]
\[4)\ На\ дуге\ BC = \angle BDC = 2\alpha\ \]
\[вписан\ угол\ \angle BAC = \frac{1}{2}\ дуги\ \]
\[BC = \alpha.\]
\[5)\ Получаем:\]
\[\angle A = \angle BAC + \frac{3}{2}\alpha = \alpha + \frac{3}{2}\alpha =\]
\[= \frac{5}{2}\text{α.}\]
\[\angle D = \alpha + 2\alpha = 3\alpha.\]
\[\angle C = \angle ACB + \angle ACD =\]
\[= \frac{\alpha}{2} + \frac{3}{2}\alpha = 2\alpha.\]
\[\angle B = \angle A + \angle C = \frac{5}{2}\alpha + 2\alpha = \frac{9}{2}\text{α.}\]
\[6)\ Сумма\ углов\ \]
\[четырехугольника:\]
\[\frac{5}{2}\alpha + \frac{9}{2}\alpha + 2\alpha + 3\alpha = 360^{0}\text{\ \ }\]
\[12\alpha = 360^{0}\]
\[\alpha = 30^{0}.\]
\[7)\ Получаем:\]
\[\angle A = \frac{5}{2} \cdot 30^{0} = 75^{0};\ \ \]
\[\angle B = \frac{9}{2} \cdot 30^{0} = 135^{0};\]
\[\angle C = 2 \cdot 30^{0} = 60^{0};\ \ \ \]
\[\angle D = 3 \cdot 30^{0} = 90^{0}.\]
\[Ответ:\ \ \angle A = 75^{0},\ \angle B = 135^{0},\ \]
\[\angle C = 60^{0},\ \angle D = 90^{0}.\]
\[\textbf{б)}\ \mathrm{\Delta}ABP\sim\mathrm{\Delta}DBA - по\ двум\ \]
\[углам:\]
\[\angle B - общий;\ \]
\[\angle BAP = \angle BDA = \alpha = 30^{0}.\]
\[Значит:\ \]
\[\frac{\text{AB}}{\text{BD}} = \frac{\text{BP}}{\text{AB}}\ \]
\[AB^{2} = BP \cdot BD.\]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]
