ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян Задание 857

\[\boxed{\mathbf{857.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[ABCD - параллелограмм.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[есть\ MNPQ - выпуклый\ \]

\[четырехугольник,\]

\[A;B;C;D - середины\ его\ \]

\[сторон.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ Построим\ точку\ M - вне\ \]

\[параллелограмма\ \text{ABCD\ }\ \]

\[и\ не\ лежащую\ на\ прямых,\ \]

\[содержащих\ его\ стороны.\ \]

\[Получаем:\]

\[точка\ N - симметрична\ M\ \]

\[относительно\ ( \bullet )A;\]

\[точка\ P - симметрична\ \text{N\ }\]

\[относительное\ ( \bullet )B;\]

\[точка\ Q - симметрична\ \text{P\ }\]

\[относительно\ ( \bullet )\text{C.}\]

\[2)\ Надо\ доказать,\ что\ D \in MQ;\ \ \]

\[MD = DQ\ или\ \]

\[что\ ( \bullet )\text{M\ }симметрична\ ( \bullet )\text{Q\ }\]

\[относительно\ ( \bullet )\text{D.}\]

\[Достроим\ чертеж:проведем\ \]

\[диагональ\ \text{QN.}\]

\[3)\ Рассмотрим\ треугольник\ \]

\[QPN:\]

\[\text{BC\ }(сторона\ параллелограмма) -\]

\[средняя\ линия;\]

\[BC \parallel NQ.\ \]

\[Следовательно,в\ треугольнике\ \]

\[QMN:\]

\[AD \parallel BC \parallel NQ;\ \ \ \]

\[MA = AN.\]

\[4)\ Получаем:\]

\[AD - средняя\ линия\ \]

\[треугольника\ QMN;\]

\[MD = DQ.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]