\[\boxed{\mathbf{859.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - выпуклый\ \]
\[четырехугольник;\]
\[M;N;P;Q - середины\ сторон;\]
\[MP + NQ = \frac{AB + BC + CD + AD}{2}.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[ABCD - параллелограмм.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Пусть\ стороны\ ABCD\ \]
\[попарно\ не\ параллельны\ \]
\[(см.\ №858):\]
\[MP < \frac{AD + BC}{2};\text{\ \ }\]
\[NQ < \frac{AB + CD}{2}.\]
\[Значит:\]
\[MP + NQ \leq \frac{AB + BC + CD + AD}{2}.\]
\[Что\ противоречит\ условию.\]
\[2)\ Допустим,\ что\ AD \nparallel BC,\ \]
\[но\ AB \parallel CD:\ \]
\[MP \leq \frac{AD + BC}{2};\text{\ \ }\]
\[NQ = \frac{AB + CD}{2};\]
\[MP + NQ \leq\]
\[\leq \frac{AB + BC + CD + AD}{2}.\]
\[Равенство\ выполняется,\ но\ \]
\[только\ иногда.\]
\[3)\ При\ AD \parallel BC\ и\ AB \parallel CD:\]
\[MP = \frac{AD + BC}{2};\text{\ \ }\]
\[NQ = \frac{AB + CD}{2};\]
\[MP + NQ = \frac{AB + BC + CD + AD}{2}.\]
\[Равенство\ всегда\ выполняется,\ \]
\[если\ стороны\ попарно\ \]
\[параллельны:\]
\[ABCD - параллеграмм.\]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]