ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян Задание 865

\[\boxed{\mathbf{865.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\]

\[AC = 2BC;\]

\[CM - биссектрисса;\]

\[CK\bot CM;\]

\[K = CK \cap AB.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[S_{\text{BCM}} = \frac{1}{2}S_{\text{ACM}} = \frac{1}{2}S_{\text{CMK}}.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ Пусть\ BC = a,\ AC = 2a.\]

\[У\ всех\ рассматриваемых\ \]

\[треугольников\ одна\ высота:\ \]

\[CH\bot AK.\ \]

\[Соотношение\ площадей\ \]

\[соответствует\ соотношению\ \]

\[оснований.\]

\[По\ теореме\ об\ отсекаемых\ \]

\[биссектрисой\ отрезках\ \ \]

\[(задача\ 535):\]

\[\frac{\text{AM}}{\text{BM}} = \frac{\text{AC}}{\text{BC}} = \frac{2}{1};\]

\[BM = \frac{1}{2}AM;\]

\[BM = \frac{1}{3}\text{AB.}\]

\[Получаем:\]

\[S_{\text{BCM}} = \frac{1}{2}S_{\text{ACM}} = \frac{1}{3}S_{\text{ABC}}.\]

\[По\ теореме\ о\ биссектрисе\ \]

\[внешнего\ угла\ (задача\ 619):\]

\[\frac{\text{BK}}{\text{BC}} = \frac{\text{AK}}{\text{AC}}\]

\[\frac{\text{BK}}{\text{AK}} = \frac{\text{BC}}{\text{AC}} = \frac{1}{2}.\]

\[Следовательно:\]

\[\ KM = BM + BK\]

\[KM = BM + AB = 4BM\ \]

\[BM = \frac{1}{4}\text{KM.}\]

\[Получаем:\]

\[S_{\text{BCM}} = \frac{1}{4}S_{\text{CMK}}\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]