ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян Задание 866

\[\boxed{\mathbf{866.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[Треугольник\ со\ сторонами,\]

\[равными\ медианам,\ в\ самом\]

\[\mathrm{\Delta}\text{ABC.}\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\]

\[AA_{1},\ BB_{1},\ CC_{1} - медианы;\]

\[\mathrm{\Delta}EFG;\]

\[GE = AA_{1};\]

\[GF = BB_{1} = FE = CC_{1}.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[\frac{S_{\text{EFG}}}{S_{\text{ABC}}} = \frac{3}{4}.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ Для\ построения\ проведем\ \]

\[AD \parallel BB_{1}\ и\ \text{BD} \parallel АС.\ \]

\[По\ построению\ \]

\[четырехугольник\ \text{ADB}B_{1}\ - \ \]

\[параллелограмм:\ \]

\[\ \text{AD}\ = \ BB_{1},\]

\[\text{BD}\ = \ AB_{1} = \frac{1}{2}\ AC = \ A_{1}C_{1}.\ \]

\[Точка\ C_{1}\ делит\ диагональ\ \text{AB\ }\]

\[пополам.\ \]

\[Значит,\ она\ делит\ и\ вторую\ \]

\[диагональ\ B_{1}\text{D\ }пополам:\]

\[C_{1}D = \frac{1}{2}B_{1}D = \frac{1}{2}\text{BC.}\]

\[Четырехугольник\ \text{BD}B_{1}C - \ \]

\[параллелограмм:\]

\[\text{BD} \parallel AC\ и\ \text{BD}\ = \ B_{1}C\ = \frac{1}{2}\text{AC.}\]

\[Четырехугольник\ DC_{1}CA_{1} - \ \]

\[параллелограмм:\]

\[\ DC_{1} \parallel A_{1}C,DC_{1}\ = \ A_{1}C \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow DA_{1} = \ CC_{1}.\]

\[\mathrm{\Delta}ADA_{1} - искомый,\]

\[построенный\ на\ медианах\ \]

\[треугольника\ \text{ABC}:\]

\[\text{AD}\ = \ BB_{1};\]

\[DA_{1} = CC_{1},\ \]

\[2)\ Площадь\ \mathrm{\Delta}ADA_{1}:\]

\[S = S_{AC_{1}D} + S_{AC_{1}A_{1}} + S_{A_{1}C_{1}D} =\]

\[= \frac{1}{2}S_{\text{ABD}} + \frac{1}{2}S_{\text{AB}A_{1}} + S_{A_{1}C_{1}B},\]

\[\mathrm{\Delta}ABD = \mathrm{\Delta}AAB_{1},\ в\ котором\ \]

\[основание\ в\ два\ раза\ \]

\[меньше\ основания\ \mathrm{\Delta}\text{ABC},\ а\ \]

\[высота\ та\ же.\ \]

\[\mathrm{\Delta}ABA_{1}\ также\ имеет\ основание\ \]

\[в\ два\ раза\ меньше,\ чем\ \mathrm{\Delta}ABC,\]

\[\ и\ ту\ же\ высоту.\]

\[У\ \mathrm{\Delta}A_{1}C_{1}B\ в\ два\ раза\ меньше\ \]

\[как\ основание,\ так\ и\ высота.\]

\[3)\ Получаем:\]

\[S =\]

\[= \frac{1}{2}S_{\text{AB}B_{1}} + \frac{1}{2} \bullet \frac{1}{2}S_{\text{ABC}} + \frac{1}{4}S_{\text{ABC}} =\]

\[= \frac{1}{4}S_{\text{ABC}} + \frac{1}{4}S_{\text{ABC}} + \frac{1}{4}S_{\text{ABC}} =\]

\[= \frac{3}{4}S_{\text{ABC}}.\]

\[4)\ По\ построению\ \]

\[\mathrm{\Delta}ADA_{1} = \mathrm{\Delta}EFG - их\ площади\ \]

\[равны:\ \]

\[\frac{S_{\text{EFG}}}{S_{\text{ABC}}} = \frac{S}{S_{\text{ABC}}} = \frac{3}{4}.\]

\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать:}\]