ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян Задание 867

\[\boxed{\mathbf{867.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\]

\[BM - медиана;\]

\[D \in BM;\]

\[\frac{\text{BD}}{\text{DM}} = \frac{1}{2};\]

\[K = AD \cap BC.\]

\[\mathbf{Найти:}\]

\[\frac{S_{\text{ABK}}}{S_{\text{ABC}}} - ?\]

\[\mathbf{Решение.}\]

\[Проведем\ прямую\ \]

\[ME \parallel AK,\ E \in BC\]

\[1)\ Для\ \mathrm{\Delta}AKC\ ME - средняя\ \]

\[линия:\]

\[ME \parallel AK\ и\ AM = MC;\]

\[KE = EC.\]

\[2)\ По\ теореме\ Фалеса\ для\ \]

\[\angle MBC:\]

\[\frac{\text{BD}}{\text{DM}} = \frac{\text{BK}}{\text{KE}} = \frac{1}{2};\]

\[BK\ :KE\ :EC = 1\ :2\ :2 \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow BK = \frac{1}{5}\text{BC.}\]

\[3)\ \mathrm{\Delta}ABK\ имеет\ в\ 5\ раз\ меньшее\ \]

\[основание\ и\ ту\ же\ высоту,\ что\ и\ \]

\[\mathrm{\Delta}\text{ABC.\ }\]

\[Поэтому:\]

\[\frac{S_{\text{ABK}}}{S_{\text{ABC}}} = \frac{1}{5}.\]

\[\mathbf{Ответ:}\frac{1}{5}.\]