\[\boxed{\mathbf{869.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[Дано:\ \]
\[ABCD - трапеция;\ \]
\[AD \parallel BC;\ \]
\[AD > BC;\ \]
\[AB = CD.\]
\[Построить:\]
\[точку\ X \in AD;\ \]
\[d(X,AB) = n \bullet d(X,CD);\]
\[n = 2,3,4.\]
\[Решение.\]
\[Допустим,\ что\ точка\ X\ найдена,\ \]
\[и\ \text{XE}\ = \ \text{nXF},\ где\ XE\ \bot AB,\]
\[XF\bot XD\text{.\ }\]
\[\mathrm{\Delta}AEX\sim\mathrm{\Delta}DFX\ (по\ двум\ углам):\]
\[\angle A = \angle D;\ \angle AEX = \angle DFX =\]
\[= 90{^\circ}\ (трапеция\ равнобедренная)\text{.\ }\]
\[Коэффициент\ подобия:\ \]
\[k = \frac{\text{XE}}{\text{XF}} = n \Longrightarrow AX = n \bullet XD.\]
\[Таким\ образом,\ задача\ \]
\[сводится\ к\ разбиению\ \]
\[отрезка\ \text{AD}\ на\ (n\ + \ 1)\ частей.\]
\[Это\ разбиение\ проводится\ с\ \]
\[использованием\ теоремы\ \]
\[Фалеса.\]
\[Построение.\]
\[1)\ Отложим\ от\ точки\ А\ вниз\ \]
\[произвольный\ луч\ AM,\ под\ \]
\[острым\ углом\ к\ \text{AD}.\]
\[2)\ Выберем\ удобный\ для\ \]
\[работы\ отрезок\ и\ отложим\ его\ \]
\[на\ луче\ \text{AM}\ (n\ + \ 1)раз\ \]
\[(линейкой\ или\ циркулем):\]
\[AA_{1} = A_{1}A_{2} = \ldots = A_{n - 1}A_{n}.\]
\[3)\ Проведем\ прямую\ A_{n}D\ и\ \]
\[параллельную\ ей\ прямую\ \]
\[A_{n - 1}\text{X.\ }\]
\[Отметим\ точку\ пересечения\ \]
\[X\ = \ A_{n - 1}X \cap AD.\]
\[Точка\ X\ - \ искомая.\]