ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян Задание 890

\[\boxed{\mathbf{890.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[ABCD - четырехугольник;\]

\[AC\bot BD.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[AB^{2} + CD^{2} = AD^{2} + BC^{2} =\]

\[= (2R)^{2}.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ Отметим\ точку\ пересечения\ \]

\[E = AC \cap BD.\]

\[2)\ По\ теореме\ Пифагора:\]

\[AB^{2} + CD^{2} =\]

\[= AE^{2} + BE^{2} + DE^{2} + CE^{2};\]

\[AD^{2} + BC^{2} =\]

\[= AE^{2} + DE^{2} + BE^{2} + CE^{2}.\]

\[3)\ Проведем\ диаметр\ AA^{'}.\]

\[4)\ \mathrm{\Delta}\text{AB}A^{'}и\ \mathrm{\Delta}ADA^{'} -\]

\[прямоугольные,\ так\ как\ \]

\[опираются\ на\ диаметр:\ \]

\[\angle DBA^{'} = 90{^\circ} - \angle ABD =\]

\[= 90{^\circ} - ACD = \angle CDB.\]

\[5)\ \mathrm{\Delta}DBC = \mathrm{\Delta}BDA^{'} - по\ второму\ \]

\[признаку:\]

\[\angle DCB = \angle BA^{'}D = \frac{1}{2} \cup DB;\ \]

\[\angle CDB = \angle DBA^{'};\]

\[\angle DBC = \angle BDA^{'};\ \]

\[DB - общая\ сторона.\]

\[Отсюда:\]

\[BA^{'} = CD.\]

\[6)\ В\ треугольнике\text{\ AB}A^{'}:\]

\[\left( AA^{'} \right)^{2} = AB^{2} + \left( BA^{'} \right)^{2} =\]

\[= AB^{2} + CD^{2} = 2R.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]