ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян Задание 895

\[\boxed{\mathbf{895.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[Дано:\ \]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\]

\[O - центр\ описанной\ \]

\[окружности\ (O;R);\]

\[H - точка\ пересечения\ высот\ \]

\[AA_{1},BB_{1},CC_{1};\]

\[A_{2},B_{2},C_{2} - середины\ AH,BH,\]

\[CH;\]

\[A_{3},B_{3},C_{3} - середины\ сторон\ \]

\[\mathrm{\Delta}\text{ABC.}\]

\[Доказать:\]

\[A_{1},A_{2},A_{3},B_{1},B_{2},B_{3},C_{1},C_{2},C_{3} -\]

\[лежат\ на\ одной\ окружности.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Пусть\ точка\ M - середина\ \]

\[отрезка\ OH;\ \ \ MN\bot AC.\]

\[2)\ HB_{1} \parallel MN \parallel OB_{3} \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow \ B_{1}N = NB_{3}\ \]

\[(по\ теореме\ Фалеса):\]

\[\mathrm{\Delta}B_{1}MN = \mathrm{\Delta}B_{3}\text{MN\ }\]

\[(по\ двум\ катетам).\]

\[Отсюда:\ \]

\[MB_{1} = MB_{3}.\]

\[3)\ Пусть\ B_{4} - точка,\ \]

\[симметричная\ \text{H\ }\]

\[относительно\ \text{AC.}\]

\[Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}OHB_{4}:\ \]

\[MB_{1} - средняя\ линия \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow MB_{1} = \frac{OB_{4}}{2},\ но\ точка\ B_{4}\ \]

\[лежит\ на\ окружности,\ \]

\[описанной\ около\ \mathrm{\Delta}\text{ABC\ }\]

\[(задача\ 886):\]

\[MB_{1} = MB_{3} = \frac{R}{2}.\]

\[4)\ MB_{2} - средняя\ линия\ \]

\[\mathrm{\Delta}BOH \Longrightarrow \ MB_{2} = \frac{\text{OB}}{2} = \frac{R}{2};\]

\[MB_{1} = MB_{2} = MB_{3} = \frac{R}{2};\]

\[5)\ Аналогично:\ \]

\[для\ MA_{1} = MA_{2} = MA_{3} = \frac{R}{2}\ и\ \]

\[MC_{1} = MC_{2} = MC_{3} = \frac{R}{2}.\]

\[6)\ Следовательно:\ \]

\[A_{1},A_{2},A_{3},B_{1},B_{2},B_{3},C_{1},C_{2},C_{3} -\]

\[лежат\ на\ одной\ окружности\ \]

\[\left( M;\frac{R}{2} \right).\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]