Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
Русский
История
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян Задание 906
Задание 906
\[\boxed{\mathbf{906.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[Дано:\ \]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\ \]
\[\overrightarrow{\text{AF}} = \frac{\overrightarrow{\text{AB}}}{\left| \overrightarrow{\text{AB}} \right|} + \frac{\overrightarrow{\text{AC}}}{\left| \overrightarrow{\text{AC}} \right|};\]
\[\overrightarrow{AF^{'}} = \frac{\overrightarrow{\text{AB}}}{\left| \overrightarrow{\text{AB}} \right|} - \frac{\overrightarrow{\text{AC}}}{\left| \overrightarrow{\text{AC}} \right|}.\]
\[Доказать:\ \]
\[\overrightarrow{\text{AF}}\ и\ \overrightarrow{AF^{'}}\ лежат\ на\ \]
\[биссектрисах\ внутреннего\ и\ \]
\[внешнего\ углов\ \]
\[соответственно.\]
\[Доказательство.\]
\[1)\ \overrightarrow{\text{AD}} = \frac{\overrightarrow{\text{AB}}}{\left| \overrightarrow{\text{AB}} \right|};\ \ \overrightarrow{\text{AE}} = \frac{\overrightarrow{\text{AC}}}{\left| \overrightarrow{\text{AC}} \right|};\ \ \]
\[\overrightarrow{AE^{'}} = - \frac{\overrightarrow{\text{AC}}}{\left| \overrightarrow{\text{AC}} \right|} - вектора\]
\[являются\ единичными,\ значит,\ \]
\[их\ концы\ лежат\ на\ окружности\ \]
\[с\ центром\ на\ вершине\ \text{A.}\]
\[2)\ \overrightarrow{\text{AD}} + \overrightarrow{\text{AE}} =\]
\[= \overrightarrow{\text{AF}}\ (по\ правилу\ параллелограмма).\]
\[3)\ Длина\ всех\ сторон\ \]
\[равна\ 1 \Longrightarrow AEFD - ромб:\]
\[\overrightarrow{\text{AF}} - диагональ\ и\ \]
\[биссектриса\ \angle\text{A.}\]
\[5)\ Длина\ всех\ сторон\ равна\ \]
\[1 \Longrightarrow \ AE^{'}F^{'}D - ромб:\]
\[\overrightarrow{AF^{'}} - диагональ\ и\ \]
\[биссектриса\ \angle E^{'}\text{AD\ }\]
\[(внешнего\ при\ вершине\ \angle A).\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
