\[\boxed{\mathbf{1149.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[\textbf{а)}\ Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[O - точка\ симметрии;\]
\[O \notin a.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[a^{'} \parallel a.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Отметим\ случайные\ \]
\[точки\ \text{A\ }и\ \text{B\ }на\ прямой\ \text{a.}\]
\[2)\ При\ симметрии\ сохраняется\ \]
\[расстояние\ между\ точками:\]
\[AO = A^{'}O;\ \ BO = B^{'}\text{O.}\]
\[3)\ \mathrm{\Delta}B^{'}OA^{'} = \mathrm{\Delta}BOA - по\ двум\ \]
\[сторонам\ и\ углу\ между\ ними:\]
\[\angle B^{'}OA^{'} = \angle BOA\ \]
\[(как\ ветрикальные);\ \]
\[AO = A^{'}O;\ \]
\[BO = B^{'}\text{O.\ }\]
\[Значит:\]
\[\ \angle B = \angle B^{'}\ и\ \angle A = \angle A^{'}.\]
\[4)\ Прямые\ \text{AB\ }и\ A^{'}B^{'};\ \]
\[BB^{'} - секущая:\]
\[\angle B = \angle B^{'}\ \]
\[(как\ накрестлежащие) \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow AB \parallel A^{'}B^{'}(по\ признаку).\]
\[5)\ AB \parallel A^{'}B^{'};\ \ AB \in a\ и\ \]
\[A^{'}B^{'} \in a^{'}:\]
\[\ a \parallel a^{'}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\ \ \]
\[\textbf{б)}\ Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[O - точка\ симметрии;\]
\[O \in a.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[a^{'} = a.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Отметим\ случайную\ \]
\[точку\ \text{A\ }на\ прямой\ \text{a.}\]
\[2)\ AO = A^{'}O;\ \ \ \ O \in a:\ \]
\[так\ как\ a^{'}\ симметрична\ a^{'},\ \]
\[то\ она\ также\ проходит\ через\ \]
\[точку\ \text{O.}\]
\[3)\ Получаем:\]
\[AO \in a;\ \ \ A^{'}O \in a^{'};\ \ \ \]
\[точки\ \text{A\ }и\ A^{'}\ принадлежат\ \]
\[одной\ прямой.\]
\[4)\ Данное\ утверждение\ \]
\[справедливо\ для\ любой\ \]
\[точки\ A.\]
\[Следовательно:\ \]
\[все\ точки\ a \in a^{'} \Longrightarrow \ a = a^{'}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]