\[\boxed{\mathbf{165.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[AB \cap CD = O;\]
\[AO = OB;OD = CO;\]
\[K \in AC;K_{1} \in DB;\]
\[AK = BK_{1}.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[\textbf{а)}\ OK = OK_{1};\]
\[\textbf{б)}\ O \in KK_{1}.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ \mathrm{\Delta}AOC = \mathrm{\Delta}BOD - по\ двум\ \]
\[сторонам\ и\ углу\ между\ ними:\]
\[AO = OB\ (по\ условию);\]
\[CO = OD\ (по\ условию);\]
\[\angle AOC = \angle DOB\ \]
\[(как\ вертикальные).\]
\[Значит:\]
\[\angle A = \angle B.\]
\[2)\ \mathrm{\Delta}AKO = \mathrm{\Delta}BK_{1}O - по\ двум\ \]
\[сторонам\ и\ углу\ между\ ними:\]
\[AO = OB\ (по\ условию);\]
\[AK = BK_{1}\ (по\ условию);\]
\[\angle A = \angle B\ (см.\ пункт\ 1).\]
\[Следовательно:\ \]
\[KO = OK_{1}.\]
\[3)\ \angle AOK = \angle BOK_{1} - по\ \]
\[пункту\ 2;\]
\[AB - отрезок.\]
\(\ \) \(Получаем:\)
\[\angle\text{AOK\ \ }и\ \ \angle BOK_{1} -\]
\[вертикальные.\]
\[Отсюда:\ \ \]
\[KK_{1} - лежит\ на\ одной\ прямой\ \]
\[и\ точка\ O \in KK_{1}\ .\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]