\[\boxed{\mathbf{166.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[AB \cap CD = O;\]
\[AO = OB;CO = OD;\]
\[M \in AC;AM = MC;\]
\[N \in BD;BN = ND.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[OM = ON.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ \mathrm{\Delta}AOC = \mathrm{\Delta}BOD - по\ двум\ \]
\[сторонам\ и\ углу\ между\ ними:\]
\[AO = OB\ (по\ условию);\]
\[CO = OD\ (по\ условию);\]
\[\angle AOC = \angle DOB\ \]
\[(как\ вертикальные).\]
\[Значит:\ \]
\[AC = DB;\ \ \angle C = \angle D;\ \angle A = \angle B.\]
\[2)\ \mathrm{\Delta}MOC = \mathrm{\Delta}DON - по\ двум\ \]
\[сторонам\ и\ углу\ между\ ними:\]
\[OC = OD\ (по\ условию);\]
\[\angle E = \angle D\ (см.\ пункт\ 1);\]
\[MC = DN\ \]
\[\left( так\ как\ MC = \frac{\text{AC}}{2};\ \ DN = \frac{\text{DB}}{2} \right)\text{.\ }\]
\[Следовательно:\ \ \]
\[OM = ON.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]