\[\boxed{\mathbf{179.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\(Рисунок\ по\ условию\ задачи:\)
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}\text{ABC} - равнобедренный;\]
\[AB = AC;\ \ P \in AB;\]
\[Q \in \text{AC};X \in \text{BC};\]
\[BX = XC;\ \]
\[\angle PXB = \angle QXC.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[BQ = CP.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ \mathrm{\Delta}ABC - равнобедренный\ \]
\[(по\ условию):\]
\[\angle C = \angle B\ (CB - основание).\]
\[2)\ \mathrm{\Delta}QXC = \mathrm{\Delta}PXB - по\ стороне\ \]
\[и\ двум\ прилегающим\ углам:\]
\[CX = XB\ (по\ условию);\]
\[\angle B = \angle C\ (см.\ пункт\ 1);\]
\[\angle PXB = \angle QXC\ (по\ условию).\]
\[Значит:\ \]
\[CQ = BP;\ \ QX = XP.\]
\[3)\ \mathrm{\Delta}CQB = \mathrm{\Delta}BPC - по\ двум\ \]
\[сторонам\ и\ углу\ между\ ними:\]
\[CQ = BP\ (см.\ пункт\ 2);\]
\[CB - общая\ сторона;\]
\[\angle C = \angle B\ (см.\ пункт\ 1).\]
\[Следовательно:\ \ BQ = CP.\ \]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]