ГДЗ по геометрии 9 класс Атанасян Задание 299

\[\boxed{\mathbf{299.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[AB = AC;\]

\[AP = PQ = QR = RB = BC.\]

\[\mathbf{Найти:}\]

\[\angle A - ?\]

\[\mathbf{Решение.}\]

\[1)\ AB = AC:\]

\[\ \mathrm{\Delta}ABC - ранобедренный;\]

\[\angle C = \angle B\ (по\ свойству).\]

\[2)\ Пусть\ \angle C = \angle B = x;\ \ \ \]

\[\angle A = y.\]

\[3)\ \mathrm{\Delta}APQ - равнобедренный:\]

\[\angle A = \angle PQA = y;\]

\[\angle APQ = 180{^\circ} - 2y.\]

\[4)\ \mathrm{\Delta}PQR - равнобедренный:\]

\[\angle APQ + \angle QPR = 180{^\circ}\ \]

\[(как\ смежные);\]

\[\angle QPR = 180{^\circ} - \angle APQ =\]

\[= 180{^\circ} - 180{^\circ} + 2y = 2y;\]

\[\angle QPR = \angle QRP\ \]

\[(так\ как\ \mathrm{\Delta}PQR - равнобедренный).\]

\[По\ теореме\ о\ сумме\ углов\ в\ \]

\[треугольнике:\]

\[\angle PQR =\]

\[= 180{^\circ} - \angle QPR - \angle QRP =\]

\[= 180{^\circ} - 4y.\]

\[5)\ \mathrm{\Delta}QRB - равнобедренный:\]

\[\angle BQR =\]

\[= 180{^\circ} - (\angle PQA + \angle PQR) =\]

\[= 180{^\circ} - (y + 180{^\circ} - 4y) =\]

\[= 180{^\circ} - 180{^\circ} + 3y = 3y\ \]

\[(как\ смежные);\]

\[\angle BQR = \angle RBQ = 3y.\]

\[По\ теореме\ о\ сумме\ углов\ в\ \]

\[треугольнике:\]

\[\angle QRB =\]

\[= 180{^\circ} - (\angle BQR + \angle RBQ) =\]

\[= 180{^\circ} - 6y.\ \]

\[6)\ \mathrm{\Delta}RBC - равнобедренный:\]

\[\angle BRC =\]

\[= 180{^\circ} - (\angle PRQ + \angle BRQ) =\]

\[= 180{^\circ} - (2y + 180{^\circ} - 6y) =\]

\[180{^\circ} - 180{^\circ} + 4y = 4y\ \]

\[(как\ смежные);\]

\[\angle BRC = \angle BCR = 4y\ \]

\[(так\ как\ \mathrm{\Delta}RBC - равнобедренный).\]

\[7)\ \mathrm{\Delta}ABC - равнобедренный:\]

\[\angle B = \angle C = 4y;\]

\[y + 4y + 4y = 180{^\circ}\]

\[9y = 180{^\circ}\]

\[y = 20{^\circ}\]

\[\angle A = 20{^\circ}.\]

\[\mathbf{Ответ:}\angle A = 20{^\circ}.\]