\[\boxed{\mathbf{431.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}\text{ABC};\ \]
\[\text{AM} - медиана;\]
\[\text{BK} \cap \text{AC} = D;\]
\[K \in \text{AM};\]
\[\text{AK} = \text{KM}.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[\text{AD} = \frac{1}{3}\text{AC}.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Построим\ \text{MF} \parallel \text{BD}:\ \]
\[\text{DF} = \text{FC}\ (по\ теореме\ Фалеса).\]
\[2)\ \text{KD} \parallel \text{MF};\ \ \ \text{AK} = \text{KM}:\]
\[\text{AD} = \text{DF}\ (по\ теореме\ Фалеса).\]
\[3)\ \text{FC} = \text{DF};\ \ \text{DF} = \text{AD}:\]
\[\ \text{FC} = \text{AD}.\]
\[4)\ \text{AC} = \text{AD} + \text{DF} + \text{FC} = 3\text{AD}\]
\[\text{AD} = \frac{1}{3}\text{AC}.\]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]