\[\boxed{\mathbf{432.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\text{ABCD} - параллелограмм;\]
\[\text{AM} = \text{MD};\]
\[\text{BN} = \text{NC};\]
\[\text{AN} \cap \text{BD} = K;\]
\[\text{CM} \cap \text{BD} = E.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[\text{BK} = \text{KE} = \text{ED}.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ \mathrm{\Delta}\text{ABN} = \mathrm{\Delta}\text{CDM} - по\ двум\ \]
\[сторонам\ и\ углу\ между\ ними:\]
\[\text{BN} = \text{MD}\ \]
\[(так\ как\ N\ и\ M - середины);\]
\[\text{AB} = \text{CD};\ \ \]
\[\angle B = \angle D\ \]
\[\left( \ так\ как\ \text{ABCD} - параллелограмм \right).\]
\[2)\ Соответствующие\ элементы\ \]
\[в\ равных\ фигурах\ равны:\]
\[\text{AN} = \text{CM}.\ \]
\[следовательно:\]
\[\text{ANCM} - параллелограмм;\]
\[\ \text{AN} \parallel \text{CM}.\]
\[4)\ \text{BN} = \text{NC};\ \ \text{AN} \parallel \text{CM}:\]
\[\text{BK} = \text{KE}\ (по\ теореме\ Фалеса).\]
\[5)\ \text{AM} = \text{MD};\ \text{AN} \parallel \text{CM}:\]
\[\text{KE} = \text{ED}\ (по\ теореме\ Фалеса).\]
\[6)\ \text{BK} = \text{KE} = \text{ED}.\]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]