\[\boxed{\mathbf{670.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[окружность\ (O;r);\]
\[AB - касательная;\]
\[AQ - секущая;\]
\[P,Q \in AQ\ и\]
\[P;\ Q \in окружности.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[AB^{2} = AP \bullet AQ.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ \mathrm{\Delta}ABP\sim\mathrm{\Delta}ABQ\ \]
\[(по\ двум\ углам):\]
\[\angle A - общий;\]
\[\angle ABP = \angle AQB =\]
\[= \frac{1}{2} \cup BP\ (задача\ 664).\]
\[Отсюда:\]
\[\frac{\text{AB}}{\text{AQ}} = \frac{\text{AP}}{\text{AB}} = \frac{\text{BP}}{\text{BQ}} = k.\]
\[2)\frac{\text{AB}}{\text{AQ}} = \frac{\text{AP}}{\text{AB}}\]
\[AB^{2} = AP \bullet AQ\ \]
\[(по\ свойству\ пропорции).\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]