\[\boxed{\mathbf{723.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - трапеция;\]
\[BC,AD - касательные;\]
\[FK - средняя\ линия.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[O \in FK.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ BC - касательная \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow OE\bot BC;\]
\[AD - касательная \Longrightarrow ON\bot AD.\]
\[2)\ AD \parallel BC\ \]
\[(по\ определению\ трапеции):\]
\[EN\bot\text{BC\ }и\ AD;\]
\[O \in EN\ (так\ как\ EN\ диаметр).\]
\[3)\ FK - средняя\ линия\ \]
\[(по\ условию):\]
\[FK \parallel BC \parallel AD\ и\ FK \cap EN = O.\]
\[4)\ FK \parallel BC \parallel AD\ и\ BF = FA \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow EO = ON\ (по\ теореме\ Фалеса):\]
\[O \in FK.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]