\[\boxed{\mathbf{850.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\ \]
\[F \in AB;E \in AF;\]
\[AE = BF;\ \]
\[CM - медиана;\]
\[EK \parallel AC;FK \parallel BC.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[K \in CM.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Допустим:\]
\[AM = MB = d;\ \ AE = FM = f.\]
\[Получим:\]
\[EM = MF = d - f \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow KM - медиана\ \]
\[треугольника\ \text{EFK.}\ \]
\[2)\ Отметим:\]
\[D = AC \cap FK;\ \ \]
\[G = BC \cap EK\ (точки\ пересечения).\]
\[3)\ KGCD - параллелограмм;\ \]
\[KC - его\ диагональ:\]
\[\angle DCG = \angle DKG = \angle C.\]
\[4)\ Достроим\ \mathrm{\Delta}EFK\ до\ \]
\[параллелограмма\ EHFK,\ в\ \]
\[котором\ ( \bullet )\text{M\ }делит\ диагонали\ \]
\[пополам\ и\ находится\ на\ \text{KH.}\]
\[5)\ HF \parallel AC\ (по\ построению);\]
\[то\ для\ секущей\ \text{AC}:\ \]
\[D \in \text{FK};\ \]
\[\angle\text{ACH} = \angle\text{HFD} = \angle HFK.\ \ \]
\[Для\ секущей\ EK:\]
\[\ \angle EKH = \angle HFK;\ \ тогда\]
\[\angle ACH = \angle EKH;\ \ EK \parallel AC;\ \ \]
\[K \in CH.\]
\[6)\ Следовательно:\]
\[K \in CH;\ \ M \in KH;\ \ K \in CM.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]