\[\boxed{\mathbf{851.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[\angle C = 90{^\circ};\ \]
\[ABDF - квадрат;\]
\[O = AD \cap BE;\ \]
\[AC + BC = a.\]
\[\mathbf{Найти:}\]
\[OC - ?\]
\[\mathbf{Решение.}\]
\[1)\ Проведем\ перпендикуляры\ \]
\[из\ точки\ O:\]
\[OM\bot CB;\ \ OK\bot AC.\]
\[2)\ Рассмотрим\ треугольники\ \]
\[\text{AOK\ }и\ \text{BOM.}\]
\[OA = OB - диагональ\ \]
\[квадрата;\]
\[\angle AKO = \angle BMO = 90{^\circ};\]
\[AO\bot OB;\ \ KO\bot OM;\ \ \]
\[\angle AOK = \angle BOM.\ \]
\[3)\ \mathrm{\Delta}AOK = \mathrm{\Delta}BOM -\]
\[по\ гипотенузе\ и\ острому\ углу:\]
\[AK = BM;\ \ \]
\[AC + BC = AC + CM = a;\]
\[OK = OM;\ \ \]
\[CKOM - квадрат.\ \]
\[Отсюда:\]
\[KC = CM = \frac{a}{2}.\]
\[4)\ OC - диагональ\ \]
\[квадрата\ \text{CKOM}:\]
\[OC = KC \bullet \sqrt{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}.\]
\[Ответ:\ \frac{a\sqrt{2}}{2}.\]