\[\boxed{\mathbf{861.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - трапеция;\]
\[AB \parallel CD;\]
\[AB < CD;\]
\[O = AC \cap BD;\]
\[\mathrm{\Delta}AOB - равносторонний;\]
\[M \in OA;\ \]
\[N \in BC;\]
\[K \in OD;\]
\[AM = MO;\]
\[BN = NC;\]
\[OK = KD.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[\mathrm{\Delta}MNK - равносторонний.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Пусть\ OA = OB = AB = a;\ \ \]
\[CD = b.\]
\[2)\ Проведем\ прямую\ KE \parallel CD;\ \]
\[E \in OC;\ KE \parallel CD \parallel AB:\ \]
\[\angle AOB = \angle KOE\ \]
\[(как\ вертикальные);\]
\[следовательно:\]
\[\mathrm{\Delta}KOE\sim\mathrm{\Delta}BOA\ (по\ двум\ углам);\]
\[\mathrm{\Delta}KOE - равносторонний.\]
\[3)\ KE - средняя\ линия\ \mathrm{\Delta}DOC:\]
\[KE = \frac{1}{2}CD = \frac{b}{2} = OK = OE.\]
\[4)\ Аналогично - \ \mathrm{\Delta}DOC\sim\mathrm{\Delta}BOA:\ \]
\[\mathrm{\Delta}DOC - равносторонний;\ \]
\[OC = OD = CD = b\]
\[Значит:\]
\[5)\ NE - средняя\ линия\ \mathrm{\Delta}COB:\]
\[NE = \frac{1}{2}OB = \frac{a}{2};\ \]
\[NE \parallel OB;\ \]
\[значит:\]
\[\angle NEO = \angle BOA = 60{^\circ}.\]
\[6)\ KO = KE = \frac{b}{2};\ \ \]
\[OM = EN = \frac{a}{2};\]
\[\angle KOM = \angle KEN = 120{^\circ};\ \]
\[следовательно:\]
\[\mathrm{\Delta}KOM = \mathrm{\Delta}KEN;\ \ \]
\[KM = KN;\ \]
\[\angle MKO = \angle NKE.\]
\[7)\ \angle MKN =\]
\[= \angle OKE + \angle MKO - \angle NKE =\]
\[= 60{^\circ}.\]
\[8)\ \mathrm{\Delta}MNK - равнобедренный:\]
\[KM = KN;\ \]
\[с\ углом\ по\ вершине\ \]
\[\angle MKN = 60{^\circ}.\]
\[Значит:\ \]
\[два\ угла\ при\ основании\ также\ \]
\[равны\ 60{^\circ};\]
\[\mathrm{\Delta}MNK - равносторонний.\]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]