\[\boxed{\mathbf{863.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[A_{1} \in BC;\]
\[B_{1} \in AC;\]
\[C_{1} \in AB;\]
\[M \in AA_{1};\]
\[MA = MA_{1};\]
\[N \in BB_{1};\]
\[NB = NB_{1};\]
\[K \in CC_{1};\]
\[KC = KC_{1}.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[M,\ N,\ K - не\ лежат\ на\ одной\ \]
\[прямой.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Построим\ все\ средние\ \]
\[линии\ треугольника.\]
\[\text{AD\ } = \ DB,BE\ = \ EC,AF\ = \ FC,\]
\[\text{DE}\ \parallel AC,\ EF \parallel \text{AB},\ \text{DF}\ \parallel \ ВС.\]
\[2)\ При\ перемещении\ точки\ A_{1}\ \]
\[по\ стороне\ \text{BC}\ точка\ \text{M\ }будет\text{\ \ }\]
\[перемещаться\ по\ средней\ \]
\[линии\ \text{DF}.\ \]
\[Аналогично:\ точка\ N\ будет\ \]
\[перемещаться\ по\ \text{DE},\ \]
\[и\ точка\ K\ - \ по\ \text{EF}\text{.\ }\]
\[3)\ Допустим,\ что\ M,\ N,\ K\ лежат\ \]
\[на\ одной\ прямой\text{.\ }\]
\[Тогда\ D,\ Е,\ F\ также\ лежат\ на\ \]
\[одной\ прямой\text{.\ }\]
\[Значит:\]
\[A;B;C\ лежат\ на\ одной\ прямой\ \]
\[и\ треугольник\ не\ образуют.\]
\[\ Что\ противоречит\ условию.\]
\[Значит,\ наше\ допущение\ \]
\[неверно:\ \ \]
\[M,\ N,\ K\ не\ лежат\ на\ одной\ \]
\[прямой.\]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]