5) [(3\frac{2}{5} + 1\frac{7}{10}) \cdot 1\frac{3}{17} - (2\frac{7}{23} - 1\frac{45}{46})] \cdot \frac{69}{80} \cdot \frac{4}{9}

5) Вычислим значение выражения: $$[(3\frac{2}{5} + 1\frac{7}{10}) \cdot 1\frac{3}{17} - (2\frac{7}{23} - 1\frac{45}{46})] \cdot \frac{69}{80} \cdot \frac{4}{9}$$

Сначала сложим смешанные числа в первых скобках, для этого приведем дробные части к общему знаменателю. Общий знаменатель для 5 и 10 это 10.

Приведем дроби к общему знаменателю:

• $$\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{4}{10}$$
• $$\frac{7}{10} = \frac{7}{10}$$

Тогда:

$$3\frac{2}{5} + 1\frac{7}{10} = 3\frac{4}{10} + 1\frac{7}{10} = (3+1) + (\frac{4}{10} + \frac{7}{10}) = 4 + \frac{4+7}{10} = 4 + \frac{11}{10} = 4 + 1\frac{1}{10} = 5\frac{1}{10}$$

Теперь вычтем смешанные числа во вторых скобках, для этого приведем дробные части к общему знаменателю. Общий знаменатель для 23 и 46 это 46.

Приведем дроби к общему знаменателю:

• $$\frac{7}{23} = \frac{7 \cdot 2}{23 \cdot 2} = \frac{14}{46}$$
• $$\frac{45}{46} = \frac{45}{46}$$

Тогда:

$$2\frac{7}{23} - 1\frac{45}{46} = 2\frac{14}{46} - 1\frac{45}{46}$$

Так как дробь $$\frac{14}{46}$$ меньше чем $$\frac{45}{46}$$, то занимаем единицу у целой части первого смешанного числа:

$$2\frac{14}{46} = 1 + 1 + \frac{14}{46} = 1 + \frac{46}{46} + \frac{14}{46} = 1\frac{60}{46}$$

Тогда:

$$2\frac{7}{23} - 1\frac{45}{46} = 1\frac{60}{46} - 1\frac{45}{46} = (1-1) + (\frac{60}{46} - \frac{45}{46}) = 0 + \frac{60-45}{46} = \frac{15}{46}$$

Умножим смешанное число $$5\frac{1}{10}$$ на смешанное число $$1\frac{3}{17}$$:

$$5\frac{1}{10} \cdot 1\frac{3}{17} = \frac{5 \cdot 10 + 1}{10} \cdot \frac{1 \cdot 17 + 3}{17} = \frac{50 + 1}{10} \cdot \frac{17 + 3}{17} = \frac{51}{10} \cdot \frac{20}{17} = \frac{51 \cdot 20}{10 \cdot 17} = \frac{3 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 6$$

Тогда:

$$[(3\frac{2}{5} + 1\frac{7}{10}) \cdot 1\frac{3}{17} - (2\frac{7}{23} - 1\frac{45}{46})] \cdot \frac{69}{80} \cdot \frac{4}{9} = [6 - \frac{15}{46}] \cdot \frac{69}{80} \cdot \frac{4}{9} = \frac{6 \cdot 46 - 15}{46} \cdot \frac{69}{80} \cdot \frac{4}{9} = \frac{276 - 15}{46} \cdot \frac{69}{80} \cdot \frac{4}{9} = \frac{261}{46} \cdot \frac{69}{80} \cdot \frac{4}{9} = \frac{261 \cdot 69 \cdot 4}{46 \cdot 80 \cdot 9} = \frac{261 \cdot 69 \cdot 1}{23 \cdot 20 \cdot 9} = \frac{29 \cdot 3 \cdot 1}{1 \cdot 20 \cdot 1} = \frac{87}{20}$$

Выделим целую часть из неправильной дроби:

$$\frac{87}{20} = 4\frac{7}{20}$$

Ответ: $$4\frac{7}{20}$$