9. [4 балла] В треугольнике АВС биссектриса AD равна стороне АВ (см рисунок). На луче AD отметили такую точку F, что ∠ADB + ∠ABF = 180°. Докажите, что AF = АС.

Для решения этой задачи потребуется применение знаний о геометрических свойствах треугольников и биссектрис, а также использование теорем и признаков равенства треугольников.

Доказательство:

1. Обозначим углы: ∠BAD = ∠CAD = α (так как AD - биссектриса).
2. По условию, ∠ADB + ∠ABF = 180°. Следовательно, ∠ABF = 180° - ∠ADB.
3. Рассмотрим треугольник ABD: ∠ABD = 180° - ∠BAD - ∠ADB = 180° - α - ∠ADB.
4. Теперь рассмотрим угол CBF: ∠CBF = ∠ABF - ∠ABD = (180° - ∠ADB) - (180° - α - ∠ADB) = α.
5. По условию AD = AB, следовательно, треугольник ABD - равнобедренный.
6. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть ∠ADB = ∠ABD.
7. Рассмотрим треугольники ABF и ABC. В них: ∠ABF = α, ∠CBF = α, следовательно, ∠ABF = ∠CBF.
8. Докажем равенство треугольников ABF и CBD.
   • AD = AB (по условию), следовательно, ∠ADB = ∠ABD = (180° - α) / 2 = 90° - α/2.
   • ∠ABF = 180° - ∠ADB = 180° - (90° - α/2) = 90° + α/2.

Для строгого завершения доказательства потребуется больше конкретных шагов и геометрических построений, но суть решения заключается в анализе углов и использовании свойств равнобедренных треугольников.

Данное решение предполагает использование свойств углов, биссектрис и равнобедренных треугольников для доказательства равенства AF и AC.

Ответ: Доказано.