9. [4 балла] В треугольнике АВС биссектриса AD равна стороне АВ (см рисунок). На луче AD отметили такую точку F, что LADB + ZABF = 180°. Докажите, что AF = АС.

Доказательство AF = AC:

1. Дано: AD - биссектриса ∠BAC, AD = AB, ∠ADB + ∠ABF = 180°.

2. Т.к. ∠ADB + ∠ABF = 180°, то ∠ABF и ∠ADB - смежные углы. Следовательно, BF - продолжение стороны BD треугольника ABD.

3. Т.к. AD = AB, то треугольник ABD - равнобедренный с основанием BD.

4. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, ∠ABD = ∠ADB.

5. Т.к. ∠ADB + ∠ABF = 180°, то ∠ABF = 180° - ∠ADB = 180° - ∠ABD. Таким образом, ∠ABF является внешним углом треугольника ABD при вершине B.

6. Т.к. AD - биссектриса ∠BAC, то ∠BAD = ∠CAD.

7. Рассмотрим треугольники ABF и ACD. У них AB = AD (по условию), ∠ABF = ∠ADB (т.к. ∠ADB + ∠ABF = 180° и ∠ADB = ∠ABD), и ∠BAF = ∠CAD (т.к. AD - биссектриса).

8. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам) треугольники ABF и ACD равны.

9. Следовательно, AF = AC (как соответствующие стороны равных треугольников).

Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано