6) \(\frac{x}{x+8}+\frac{x+8}{x-8}=\frac{x^2+x+72}{x^2-64}\);

6) Решим уравнение: $$\frac{x}{x+8}+\frac{x+8}{x-8}=\frac{x^2+x+72}{x^2-64}$$.

Приведем к общему знаменателю \((x+8)(x-8)\), при условии, что \(x
eq -8\), \(x
eq 8\):

$$\frac{x(x-8)}{(x+8)(x-8)} + \frac{(x+8)(x+8)}{(x-8)(x+8)} = \frac{x^2+x+72}{(x+8)(x-8)}$$

Сложим дроби:

$$\frac{x(x-8) + (x+8)(x+8)}{(x+8)(x-8)} = \frac{x^2+x+72}{(x+8)(x-8)}$$

Раскроем скобки:

$$\frac{x^2 - 8x + x^2 + 16x + 64}{x^2-64} = \frac{x^2+x+72}{x^2-64}$$

$$\frac{2x^2 + 8x + 64}{x^2-64} = \frac{x^2+x+72}{x^2-64}$$

Домножим обе части на \(x^2-64\). Получим:

$$2x^2 + 8x + 64 = x^2 + x + 72$$

Перенесем все в левую часть:

$$2x^2 + 8x + 64 - x^2 - x - 72 = 0$$

$$x^2 + 7x - 8 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$$

$$x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 \pm 9}{2}$$

$$x_1 = \frac{-7 + 9}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

$$x_2 = \frac{-7 - 9}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$

Так как \(x
eq -8\), то решением является только \(x = 1\).

Ответ: \(x = 1\)