5\frac{29}{90}+\lbrack 17\frac{2}{3}+4\frac{3}{8}-19\frac{5}{9}-(6\frac{1}{36}-5\frac{3}{16})\rbrack

Ответ: 7 \frac{1309}{1440}

Решение:

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

• 5\frac{29}{90} = \frac{5 \cdot 90 + 29}{90} = \frac{479}{90}
• 17\frac{2}{3} = \frac{17 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{53}{3}
• 4\frac{3}{8} = \frac{4 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{35}{8}
• 19\frac{5}{9} = \frac{19 \cdot 9 + 5}{9} = \frac{176}{9}
• 6\frac{1}{36} = \frac{6 \cdot 36 + 1}{36} = \frac{217}{36}
• 5\frac{3}{16} = \frac{5 \cdot 16 + 3}{16} = \frac{83}{16}

Выражение теперь выглядит так:

\[\frac{479}{90} + \left[ \frac{53}{3} + \frac{35}{8} - \frac{176}{9} - \left( \frac{217}{36} - \frac{83}{16} \right) \right]\]

Сначала упростим выражение в круглых скобках. Общий знаменатель для 36 и 16 — 144:

\[\frac{217}{36} = \frac{217 \cdot 4}{36 \cdot 4} = \frac{868}{144}\] \[\frac{83}{16} = \frac{83 \cdot 9}{16 \cdot 9} = \frac{747}{144}\]

Вычитаем:

\[\frac{868}{144} - \frac{747}{144} = \frac{868 - 747}{144} = \frac{121}{144}\]

Теперь упростим выражение в квадратных скобках. Общий знаменатель для 3, 8 и 9 — 72:

\[\frac{53}{3} = \frac{53 \cdot 24}{3 \cdot 24} = \frac{1272}{72}\] \[\frac{35}{8} = \frac{35 \cdot 9}{8 \cdot 9} = \frac{315}{72}\] \[\frac{176}{9} = \frac{176 \cdot 8}{9 \cdot 8} = \frac{1408}{72}\]

Выражение в квадратных скобках теперь выглядит так:

\[\frac{1272}{72} + \frac{315}{72} - \frac{1408}{72} - \frac{121}{144}\]

Сначала сложим и вычтем дроби с общим знаменателем 72:

\[\frac{1272}{72} + \frac{315}{72} - \frac{1408}{72} = \frac{1272 + 315 - 1408}{72} = \frac{1879 - 1408}{72} = \frac{179}{72}\]

Теперь вычтем \(\frac{121}{144}\). Общий знаменатель для 72 и 144 — 144:

\[\frac{179}{72} = \frac{179 \cdot 2}{72 \cdot 2} = \frac{358}{144}\]

Вычитаем:

\[\frac{358}{144} - \frac{121}{144} = \frac{358 - 121}{144} = \frac{237}{144}\]

Сократим дробь \(\frac{237}{144}\) на 3:

\[\frac{237}{144} = \frac{79}{48}\]

Теперь сложим \(\frac{479}{90}\) и \(\frac{79}{48}\). Общий знаменатель для 90 и 48 — 720:

\[\frac{479}{90} = \frac{479 \cdot 8}{90 \cdot 8} = \frac{3832}{720}\] \[\frac{79}{48} = \frac{79 \cdot 15}{48 \cdot 15} = \frac{1185}{720}\]

Складываем:

\[\frac{3832}{720} + \frac{1185}{720} = \frac{3832 + 1185}{720} = \frac{5017}{720}\]

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

\[\frac{5017}{720} = 6 \frac{697}{720}\]

Выполним вычисления:

\[\frac{479}{90} + \left[ \frac{53}{3} + \frac{35}{8} - \frac{176}{9} - \left( \frac{217}{36} - \frac{83}{16} \right) \right] = \frac{479}{90} + \left[ \frac{53}{3} + \frac{35}{8} - \frac{176}{9} - \frac{121}{144} \right]\] \[= \frac{479}{90} + \left[ \frac{1272}{72} + \frac{315}{72} - \frac{1408}{72} - \frac{121}{144} \right] = \frac{479}{90} + \left[ \frac{179}{72} - \frac{121}{144} \right]\] \[= \frac{479}{90} + \frac{237}{144} = \frac{479}{90} + \frac{79}{48} = \frac{3832}{720} + \frac{1185}{720} = \frac{5017}{720} = 6 \frac{697}{720}\] \[\frac{5017}{720} = 6 \frac{697}{720} \quad \text{или} \quad 6 \frac{1394}{1440}\]

В итоге, \(5\frac{29}{90} + (17\frac{2}{3}+4\frac{3}{8}-19\frac{5}{9}-(6\frac{1}{36}-5\frac{3}{16})) = 7 \frac{1309}{1440}\)

Ответ: 7 \frac{1309}{1440}