4°. Доказать тождество: 1) ctg x - \(\frac{sin x}{1 - cos x} = -\frac{1}{sin x}\) 2) \(\frac{sin (π – 3α) – cos (\frac{3π}{2} + α) cos (α - \frac{5π}{2})}{1 + cos (π – 2α)} = cos 2α.\)

Решение: 1) Докажем тождество: \(ctg x - \frac{sin x}{1 - cos x} = -\frac{1}{sin x}\) \(ctg x - \frac{sin x}{1 - cos x} = \frac{cos x}{sin x} - \frac{sin x}{1 - cos x} = \frac{cos x(1 - cos x) - sin^2 x}{sin x(1 - cos x)} = \frac{cos x - cos^2 x - sin^2 x}{sin x(1 - cos x)} = \frac{cos x - (cos^2 x + sin^2 x)}{sin x(1 - cos x)} = \frac{cos x - 1}{sin x(1 - cos x)} = \frac{-(1 - cos x)}{sin x(1 - cos x)} = -\frac{1}{sin x}\) Тождество доказано. 2) Докажем тождество: \(\frac{sin (π – 3α) – cos (\frac{3π}{2} + α) cos (α - \frac{5π}{2})}{1 + cos (π – 2α)} = cos 2α.\) \(sin (π – 3α) = sin 3α\) \(cos (\frac{3π}{2} + α) = sin α\) \(cos (α - \frac{5π}{2}) = cos (α - \frac{5π}{2} + 2π) = cos (α - \frac{π}{2}) = cos (-( \frac{π}{2} - α)) = cos (\frac{π}{2} - α) = sin α\) \(cos(π - 2α) = -cos 2α\) Тогда выражение примет вид: \(\frac{sin 3α – sin α * sin α}{1 - cos 2α} = \frac{sin 3α - sin^2 α}{1 - cos 2α}\) \(sin 3α = 3sin α - 4sin^3 α\) \(\frac{3sin α - 4sin^3 α - sin^2 α}{1 - (1 - 2sin^2 α)} = \frac{3sin α - 4sin^3 α - sin^2 α}{2sin^2 α} = \frac{sin α(3 - 4sin^2 α - sin α)}{2sin^2 α}\) Но с другой стороны: \( cos 2α = 1-2sin^2 α \) Тождество не верно. Проверим другое решение. \(\frac{sin (π – 3α) – cos (\frac{3π}{2} + α) cos (α - \frac{5π}{2})}{1 + cos (π – 2α)} = cos 2α.\) \(\frac{sin (π – 3α) – cos (\frac{3π}{2} + α) cos (α - \frac{5π}{2})}{1 + cos (π – 2α)} = \frac{sin 3α - sin α * sin α}{1 - cos 2α}\) Теперь вспомним что \(cos (π – 2α) = - cos 2α \), и используем эту формулу \(\frac{sin 3α – sin α * sin α}{1 - cos 2α} = \frac{sin 3α - sin^2 α}{1 + cos (π-2α)} = \frac{sin 3α - sin^2 α}{1 - cos 2α}\) \(sin 3α = 3sin α - 4sin^3 α\) \(cos 2α = 1 - 2sin^2 α\) \(\frac{3sin α - 4sin^3 α - sin^2 α}{1 - (1 - 2sin^2 α)} = \frac{3sin α - 4sin^3 α - sin^2 α}{2sin^2 α} = \frac{sin α(3 - 4sin^2 α - sin α)}{2sin^2 α} \) Тождество все еще не верно. Должно было получится \(cos2α\), а получилось совсем другое. Скорее всего в условии опечатка.