3°. Найдите основание равнобедренного треугольника, если угол при основании равен 30°, а высота, проведен- ная к основанию, равна 10.

3. Пусть дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC, углом при основании ∠BAC = 30° и высотой BH = 10, проведенной к основанию AC. Требуется найти основание AC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нем ∠BAH = 30°, BH = 10. Тогда:

$$\tan(\angle BAH) = \frac{BH}{AH}$$ $$\tan(30^\circ) = \frac{10}{AH}$$ $$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10}{AH}$$ $$\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{10}{AH}$$ $$AH = 10\sqrt{3}$$

Так как высота в равнобедренном треугольнике является и медианой, то AH = HC, и AC = 2AH.

$$AC = 2 \cdot 10\sqrt{3} = 20\sqrt{3}$$

Ответ: 20$$\sqrt{3}$$