18. 5 ⁷√(a - 1)⁵ = (a - 1).

Задание: При каких значениях a равенство верно: $$ \sqrt[7]{(a - 1)^5} = (a - 1)^{\frac{5}{5}} $$?

1. Преобразуем уравнение:
   $$ \sqrt[7]{(a - 1)^5} = (a - 1)^{\frac{5}{5}} $$
   $$ ((a - 1)^5)^{\frac{1}{7}} = (a - 1) $$
   $$ (a - 1)^{\frac{5}{7}} = (a - 1) $$


2. Сделаем замену переменной: $$ t = a - 1 $$
   Тогда уравнение примет вид:
   $$ t^{\frac{5}{7}} = t $$


3. Возведем обе части в 7 степень:
   $$ (t^{\frac{5}{7}})^7 = t^7 $$
   $$ t^5 = t^7 $$


4. Перенесем все в одну сторону:
   $$ t^7 - t^5 = 0 $$


5. Вынесем общий множитель:
   $$ t^5(t^2 - 1) = 0 $$


6. Найдем корни уравнения:
   
   
   
   
   • $$ t^5 = 0 $$
     $$ t = 0 $$
   
   
   • $$ t^2 - 1 = 0 $$
     $$ t^2 = 1 $$
     $$ t = \pm 1 $$
   
   
   
   


7. Вернемся к переменной a:
   
   
   
   
   • $$ a - 1 = 0 $$
     $$ a = 1 $$
   
   
   • $$ a - 1 = 1 $$
     $$ a = 2 $$
   
   
   • $$ a - 1 = -1 $$
     $$ a = 0 $$
   
   
   
   


8. Проверим найденные значения:
   
   
   
   
   • При a = 1:
     $$ \sqrt[7]{(1 - 1)^5} = (1 - 1)^{\frac{5}{5}} $$
     $$ 0 = 0 $$ (верно)
   
   
   • При a = 2:
     $$ \sqrt[7]{(2 - 1)^5} = (2 - 1)^{\frac{5}{5}} $$
     $$ \sqrt[7]{1} = 1 $$
     $$ 1 = 1 $$ (верно)
   
   
   • При a = 0:
     $$ \sqrt[7]{(0 - 1)^5} = (0 - 1)^{\frac{5}{5}} $$
     $$ \sqrt[7]{(-1)^5} = -1 $$
     $$ -1 = -1 $$ (верно)
   
   
   
   

Ответ: a = 0, a = 1, a = 2