6) √50-√200sin² 5π/8

Решим данное выражение:

1. Преобразуем первое слагаемое: $$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$$
2. Преобразуем второе слагаемое: $$\sqrt{200}\sin^2{\frac{5\pi}{8}} = \sqrt{100 \cdot 2} \sin^2{\frac{5\pi}{8}} = 10\sqrt{2}\sin^2{\frac{5\pi}{8}}$$
3. Выражение примет вид: $$5\sqrt{2} - 10\sqrt{2}\sin^2{\frac{5\pi}{8}} = 5\sqrt{2} \left(1 - 2\sin^2{\frac{5\pi}{8}}\right)$$
4. Вспомним формулу косинуса двойного угла: \(\cos{2x} = 1 - 2\sin^2{x}\). Применим эту формулу: $$5\sqrt{2} \cos{\frac{10\pi}{8}} = 5\sqrt{2} \cos{\frac{5\pi}{4}}$$
5. Угол \(\frac{5\pi}{4}\) находится в третьей четверти, где косинус отрицателен. \(\frac{5\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4}\), следовательно: $$\cos{\frac{5\pi}{4}} = -\cos{\frac{\pi}{4}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$
6. Подставим значение косинуса в выражение: $$5\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -5 \cdot \frac{2}{2} = -5$$

Ответ: -5