5) √48cos² 17π/12 -√12

Решим данное выражение:

1. Преобразуем первое слагаемое: $$\sqrt{48}\cos^2{\frac{17\pi}{12}} = \sqrt{16 \cdot 3} \cos^2{\frac{17\pi}{12}} = 4\sqrt{3}\cos^2{\frac{17\pi}{12}}$$
2. Преобразуем второе слагаемое: $$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$$
3. Выражение примет вид: $$4\sqrt{3}\cos^2{\frac{17\pi}{12}} - 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \left(2\cos^2{\frac{17\pi}{12}} - 1\right)$$
4. Вспомним формулу косинуса двойного угла: \(\cos{2x} = 2\cos^2{x} - 1\). Применим эту формулу: $$2\sqrt{3} \cos{\frac{17\pi}{6}}$$
5. Преобразуем угол: $$\frac{17\pi}{6} = \frac{12\pi + 5\pi}{6} = 2\pi + \frac{5\pi}{6}$$ Тогда: $$\cos{\frac{17\pi}{6}} = \cos{\frac{5\pi}{6}}$$
6. Угол \(\frac{5\pi}{6}\) находится во второй четверти, где косинус отрицателен. \(\frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6}\), следовательно: $$\cos{\frac{5\pi}{6}} = -\cos{\frac{\pi}{6}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$
7. Подставим значение косинуса в выражение: $$2\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -2 \cdot \frac{3}{2} = -3$$

Ответ: -3