√548 Образующая конуса, равная 12 см, наклонена к плоскости осно- вания под углом α. Найдите площадь основания конуса, если: a) α = 30°; б) α = 45°; в) α = 60°.

Ответ: a) \(36\pi\) см², б) \(72\pi\) см², в) \(108\pi\) см²

1. Шаг 1: вспомним формулу площади основания конуса: \[S = \pi r^2\]
2. Шаг 2: определим радиус основания конуса в зависимости от угла α. Поскольку образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом α, то радиус можно выразить как: \[r = l \cos(\alpha)\] где \(l\) - образующая конуса, равная 12 см.
3. Шаг 3: вычислим радиусы для каждого угла:
   • a) α = 30°: \[r = 12 \cos(30°) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\]
   • б) α = 45°: \[r = 12 \cos(45°) = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}\]
   • в) α = 60°: \[r = 12 \cos(60°) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6\]
4. Шаг 4: вычислим площади оснований для каждого случая:
   • a) α = 30°: \[S = \pi (6\sqrt{3})^2 = \pi \cdot 36 \cdot 3 = 108\pi\ \text{см}^2\]
   • б) α = 45°: \[S = \pi (6\sqrt{2})^2 = \pi \cdot 36 \cdot 2 = 72\pi\ \text{см}^2\]
   • в) α = 60°: \[S = \pi (6)^2 = \pi \cdot 36 = 36\pi\ \text{см}^2\]

Ответ: a) \(36\pi\) см², б) \(72\pi\) см², в) \(108\pi\) см²