4) √2x−8 ≤16x+13

4) ( \sqrt{2x-8} \le 16x+13 )

ОДЗ: (2x-8 \ge 0), следовательно, (x \ge 4)

Возведём обе части неравенства в квадрат, рассматривая два случая:

1) Если (16x+13 < 0), то есть (x < -\frac{13}{16}), то неравенство не имеет решений, так как корень всегда неотрицателен.

2) Если (16x+13 \ge 0), то есть (x \ge -\frac{13}{16}), возводим обе части в квадрат:

(2x-8 \le (16x+13)^2)

(2x-8 \le 256x^2 + 416x + 169)

(256x^2 + 414x + 177 \ge 0)

Найдём дискриминант: (D = 414^2 - 4 \cdot 256 \cdot 177 = 171396 - 181248 = -9852 < 0)

Так как дискриминант отрицательный, и коэффициент при (x^2) положительный, то парабола всегда выше оси x, то есть неравенство верно для всех x. Но у нас есть ОДЗ, поэтому (x \ge 4)

Ответ: (x \ge 4)