6. 5 √x (x²+).

6. Дано выражение: $$\sqrt{x}(x^2 + \frac{1}{\sqrt{x}})$$.

Раскроем скобки: $$x^{\frac{1}{2}}x^2 + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{5}{2}} + 1$$.

Найдем производную данной функции, используя правило производной суммы и разности, а также правило производной степенной функции:

$$\frac{d}{dx}(x^{\frac{5}{2}} + 1) = \frac{d}{dx}(x^{\frac{5}{2}}) + \frac{d}{dx}(1)$$.

Применим правило производной степенной функции $$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$$ и правило производной константы $$\frac{d}{dx}(c) = 0$$:

$$\frac{d}{dx}(x^{\frac{5}{2}}) = \frac{5}{2}x^{\frac{5}{2}-1} = \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}} = \frac{5}{2}x\sqrt{x}$$.

$$\frac{d}{dx}(1) = 0$$.

Тогда:

$$\frac{d}{dx}(x^{\frac{5}{2}} + 1) = \frac{5}{2}x\sqrt{x} + 0 = \frac{5}{2}x\sqrt{x}$$.

Ответ: $$\frac{5}{2}x\sqrt{x}$$