6. ∠C= 90°, PC = CM; CA = 8 см Найти: MP.

Дано: ∠C = 90°, PC = CM, CA = 8 см. Нужно найти MP. Решение: 1. Так как PC = CM, треугольник PCM - равнобедренный, и ∠CPM = ∠CMP. 2. ∠PCM = 90°, значит ∠CPM + ∠CMP = 180° - 90° = 90°. 3. Тогда ∠CPM = ∠CMP = 90° / 2 = 45°. 4. Рассмотрим треугольник ACM. ∠ACM = 90°, CA = 8 см. 5. Так как CM = PC и PC = CM, то CM = PC. 6. В прямоугольном треугольнике ACM, по теореме Пифагора, AM^2 = AC^2 + CM^2. 7. AM^2 = 8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128. 8. AM = √128 = 8√2 см. 9. Рассмотрим треугольник AMP. ∠CAM = 45° (т.к. PC=CM, ∠PCA=∠CMA=45° => ∠CAM=45°) По теореме косинусов, MP^2 = AM^2 + AP^2 - 2 * AM * AP * cos∠CAM MP^2 = (8√2)^2 + (8)^2 - 2 * 8√2 * 8 * cos45° MP^2 = 128 + 64 - 128√2 * (√2 / 2) = 192 - 128 = 64 MP = √64 = 8 Ответ: MP = 8 см